Anscombe-Transformation und normale Approximation

Die Anscombe-Transformation ist $a(x) = 2\sqrt{x+3/8}$ .

Kann mir jemand zeigen, wie man beweisen kann, dass eine Anscombe-transformierte Version $Y = a(X)$ einer Poisson-verteilten Zufallsvariablen $X$ ungefähr normalverteilt ist (wenn $\lambda>4$ )?

Hier ist eine Skizze eines Beweises, der drei Ideen kombiniert: (a) die Delta-Methode, (b) Varianzstabilisierungstransformationen und (c) den Abschluss der Poisson-Verteilung unter unabhängigen Summen.

$X_1, X_2, \ldots$$\lambda > 0$

$$\newcommand{\barX}{\bar{X}_n}\newcommand{\convd}{\,\xrightarrow{\,d\,}\,}\newcommand{\Nml}{\mathcal{N}} \sqrt{n} (\barX - \lambda) \convd \Nml(0,\lambda) \> .$$

Beachten Sie, dass die asymptotische Varianz vom (vermutlich unbekannten) Parameter abhängt . Es wäre schön, wenn wir eine andere Funktion der Daten als finden könnten, so dass sie nach dem Zentrieren und erneuten Skalieren unabhängig vom Parameter dieselbe asymptotische Varianz aufweisen .$\lambda$$\bar{X}_n$$\lambda$

Die Delta-Methode bietet eine praktische Möglichkeit, die Verteilung der glatten Funktionen einer Statistik zu bestimmen, deren Grenzverteilung bereits bekannt ist. Sei eine Funktion mit stetiger erster Ableitung, so dass . Dann wird nach der Delta-Methode (spezialisiert auf unseren speziellen Fall von Interesse) $g$$g'(\lambda) \neq 0$

$$\sqrt{n}\big(g(\barX) - g(\lambda)\big) \convd \Nml(0, \lambda g'(\lambda)^2) \>.$$

Wie können wir also die asymptotische Varianz für alle möglichen konstant machen (z. B. den Wert ) ? Aus dem obigen Ausdruck wissen wir, dass wir lösen müssen$1$$\lambda$

$$g'(\lambda) = \lambda^{-1/2} \>.$$

Es ist nicht schwer zu erkennen, dass das allgemeine Antiderivativ für jedes ist und die Grenzverteilung für die Wahl von (durch Subtraktion) unveränderlich ist , also können wir setzen ohne Verlust der Allgemeinheit. Eine solche Funktion wird als varianzstabilisierende Transformation bezeichnet .$g(\lambda) = 2 \sqrt{\lambda} + c$$c$$c$$c = 0$$g$

Daher schließen wir durch die Delta-Methode und unsere Wahl von , dass $g$

$$\sqrt{n}\Big(2\sqrt{\barX} - 2\sqrt{\lambda}\Big) \convd \Nml(0, 1) \>.$$

Jetzt wird die Poisson-Verteilung unter unabhängigen Beträgen geschlossen. Wenn also Poisson mit dem Mittelwert , dann existieren Zufallsvariablen , die iid Poisson mit dem Mittelwert so dass die gleiche Verteilung wie . Dies motiviert die Annäherung bei einer einzelnen Poisson-Zufallsvariablen.$X$$\lambda$$Z_1, \ldots, Z_n$$\lambda/n$$\sum_{i=1}^n Z_i$$X$

Was Anscombe (1948) fand, war, dass das Modifizieren der Transformation (leicht) in für eine Konstante für kleinere tatsächlich besser funktionierte . In diesem Fall ist ungefähr optimal.$g$$\tilde{g}(\lambda) = 2\sqrt{\lambda + b}$$b$$\lambda$$b = 3/8$

Es ist zu beachten, dass diese Modifikation die wahre Varianzstabilisierungseigenschaft von "zerstört" , dh ist keine Varianzstabilisierung im engeren Sinne. Aber es ist nah und liefert bessere Ergebnisse für kleinere .$g$$\tilde{g}$$\lambda$