Ableitung der bivariaten Poisson-Verteilung

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Ich bin kürzlich auf die bivariate Poisson-Verteilung gestoßen, bin jedoch ein wenig verwirrt, wie sie abgeleitet werden kann.

Die Verteilung erfolgt durch:

P ( X = x , Y = y ) = e - ( θ 1 + θ 2 + θ 0 ) θ x 1x ! θ y 2y ! m i n ( x , y ) Σ i=0 ( xi ) ( yi ) ich! ( θ 0θ 1 θ 2 )iP(X=x,Y=y)=e(θ1+θ2+θ0)θx1x!θy2y!i=0min(x,y)(xi)(yi)i!(θ0θ1θ2)i

Nach allem, was ich zusammenfassen kann, ist der Term θ 0θ0 ein Maß für die Korrelation zwischen XX und Y.Y ; wenn also XX und Y.Y unabhängig sind, ist θ0=0θ0=0 und die Verteilung wird einfach zum Produkt zweier univariater Poisson-Verteilungen.

Vor diesem Hintergrund beruht meine Verwirrung auf dem Summationsterm - ich gehe davon aus, dass dieser Term die Korrelation zwischen XX und YY .

Es scheint mir, dass der Summand eine Art Produkt binomialer kumulativer Verteilungsfunktionen darstellt, bei dem die Wahrscheinlichkeit des "Erfolges" durch (θ0θ1θ2)(θ0θ1θ2) und die Wahrscheinlichkeit eines "Scheiterns" ist gegeben durch i!1min(x,y)ii!1min(x,y)i , weil (i!1min(x,y)i!)(min(x,y)i)=i!(i!1min(x,y)i!)(min(x,y)i)=i!, aber ich könnte weit davon entfernt sein.

Könnte jemand eine Hilfestellung geben, wie diese Verteilung abgeleitet werden kann? Auch wenn es in einer Antwort enthalten sein könnte, wie dieses Modell auf ein multivariates Szenario erweitert werden könnte (sagen wir drei oder mehr Zufallsvariablen), wäre das großartig!

(Schließlich habe ich bemerkt, dass es zuvor eine ähnliche Frage gab ( Verständnis der bivariaten Poisson-Verteilung ), aber die Ableitung wurde tatsächlich nicht untersucht.)

user9171
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Sollte der erste Term mit Exponent nicht anstelle von ? e(θ1+θ2+θ0)e(θ1+θ2+θ0)eθ1+θ2+θ0eθ1+θ2+θ0
Gilles
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@ Giles Entschuldigung, ich habe Ihren Kommentar anfangs falsch gelesen - ja, Sie haben Recht. Der Ausdruck sollte lauten . Danke, dass du das verstanden hast! e(θ1+θ2+θ0)e(θ1+θ2+θ0)
user9171
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Im Allgemeinen ist es nicht "das" für multivariate Versionen von univariaten Distributionen, mit wenigen konventionellen Ausnahmen ("das" multivariate Normal zum Beispiel). Es gibt viele Möglichkeiten, multivariate Erweiterungen zu erhalten, je nachdem, welche Funktionen am wichtigsten sind. Unterschiedliche Autoren haben möglicherweise unterschiedliche multivariate Versionen gemeinsamer univariater Distributionen. So im Allgemeinen, könnte man so etwas wie „sagt eine multivariate Poisson“ oder ‚So-und-so ist bivariate Poisson“ Dies ist ein ziemlich natürlich, aber nicht die einzige..
Glen_b -Reinstate Monica
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(ctd) ... zum Beispiel suchen einige Autoren nach einer multivariaten Verteilung, die zur negativen Abhängigkeit fähig ist, eine Fähigkeit, die diese nicht besitzt.
Glen_b -Reinstate Monica

Antworten:

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In einer Folienpräsentation definieren Karlis und Ntzoufras ein bivariates Poisson als die Verteilung von wobei die unabhängig Poisson Verteilungen haben. Denken Sie daran, dass eine solche Verteilung bedeutet(X,Y)=(X1+X0,X2+X0)(X,Y)=(X1+X0,X2+X0)XiXiθiθi

Pr(Xi=k)=eθiθkik!

Pr(Xi=k)=eθiθkik!

für k=0,1,2,.k=0,1,2,.

Das Ereignis (X,Y)=(x,y)(X,Y)=(x,y) ist die disjunkte Vereinigung der Ereignisse

(X0,X1,X2)=(i,xi,yi)

(X0,X1,X2)=(i,xi,yi)

für alle , die alle drei Komponenten zu nicht negativen ganzen Zahlen machen, aus denen wir ableiten können . Da die unabhängig sind, multiplizieren sich ihre Wahrscheinlichkeitenii0imin(x,y)0imin(x,y)XiXi

F(θ0,θ1,θ2)(x,y)=Pr((X,Y)=(x,y))=min(x,y)i=0Pr(X0=i)Pr(X1=xi)Pr(X2=yi).

F(θ0,θ1,θ2)(x,y)=Pr((X,Y)=(x,y))=i=0min(x,y)Pr(X0=i)Pr(X1=xi)Pr(X2=yi).

Dies ist eine Formel; wir sind fertig. Um jedoch zu sehen, dass es der Formel in der Frage entspricht, verwenden Sie die Definition der Poisson-Verteilung, um diese Wahrscheinlichkeiten in Bezug auf die Parameter ; zu schreiben und (vorausgesetzt, dass keines von & thgr; 1, & thgr ; 2 Null ist) algebraisch zu überarbeiten so viel wie möglich aussehen wie das Produkt \ Pr (X_1 = x) \ Pr (X_2 = y) :θiθiθ1,θ2θ1,θ2Pr(X1=x)Pr(X2=y)Pr(X1=x)Pr(X2=y)

F(θ0,θ1,θ2)(x,y)=min(x,y)i=0(eθ0θi0i!)(eθ1θxi1(xi)!)(eθ2θyi2(yi)!)=e(θ1+θ2)θx1x!θy2y!(eθ0min(x,y)i=0θi0i!x!θi1(xi)!y!θi2(yi)!).

F(θ0,θ1,θ2)(x,y)=i=0min(x,y)(eθ0θi0i!)(eθ1θxi1(xi)!)(eθ2θyi2(yi)!)=e(θ1+θ2)θx1x!θy2y!(eθ0i=0min(x,y)θi0i!x!θi1(xi)!y!θi2(yi)!).

Wenn Sie es wirklich wollen, können Sie die Terme in der Summe mit den Binomialkoeffizienten (xi)=x!/((xi)!i!)(xi)=x!/((xi)!i!) Und \ binom erneut ausdrücken {y} {i}(yi)(yi) , nachgebend

F(θ0,θ1,θ2)(x,y)=e(θ0+θ1+θ2)θx1x!θy2y!min(x,y)i=0i!(xi)(yi)(θ0θ1θ2)i,

F(θ0,θ1,θ2)(x,y)=e(θ0+θ1+θ2)θx1x!θy2y!i=0min(x,y)i!(xi)(yi)(θ0θ1θ2)i,

genau wie in der frage.


Die Verallgemeinerung zu multivariaten Szenarien kann je nach erforderlicher Flexibilität auf verschiedene Arten erfolgen. Das einfachste würde die Verteilung von erwägen

(X1+X0,X2+X0,,Xd+X0)

(X1+X0,X2+X0,,Xd+X0)

für unabhängige verteilte Poisson-Variablen X_0 . Für mehr Flexibilität könnten zusätzliche Variablen eingeführt werden. Zum Beispiel verwenden unabhängige Poisson Variablen und die multivariate Verteilung des berücksichtigen ,X0,X1,,XdX0,X1,,XdηiηiY1,,YdY1,,YdXi+(Yi+Yi+1++Yd)Xi+(Yi+Yi+1++Yd)i=1,2,,d.i=1,2,,d.

whuber
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ein dickes Lob! nicht das zweite in der großen Klammer vor dem letzten Schritt ? eθ0eθ0eθ2eθ2
Gilles
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@ Gilles Danke, dass du den Tippfehler abgefangen hast - ich habe ihn behoben. Der anfängliche Exponent erforderlich sein ; das in den Klammern ist korrekt. θ0+θ1θ0+θ1θ1+θ2θ1+θ2eθ0eθ0
Whuber
@whuber Tausend Dank! Das ist eine perfekte Antwort!
user9171
@whuber Tolle Antwort! Ich verstehe immer noch nicht, warum das Ereignis die disjunkte Vereinigung der Ereignisse . Ich denke, das gilt nur für . Vielleicht meinten Sie (komponentenweise)? Aber reicht das aus, um die Verteilungsfunktion zu charakterisieren? (X,Y)=(x,y)(X,Y)=(x,y)(X0,X1,X2)=(i,xi,yi)(X0,X1,X2)=(i,xi,yi)i=0i=0(X,Y)(x,y)(X,Y)(x,y)
vanguard2k
@ vanguard2k Ich verstehe deinen Kommentar nicht. Behauptest du, dass diese Ereignisse nicht disjunkt sind? (Aber sie müssen es sein, denn sie haben unterschiedliche Werte von .) Oder behaupten Sie, dass sie nicht erschöpfend sind? (Wenn ja, welche Werte von Ihrer Meinung nach nicht berücksichtigt?)X0X0(X,Y)(X,Y)
whuber
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Hier ist eine Möglichkeit, die bivariate Poissonverteilung abzuleiten.

Sei unabhängige Poisson-Zufallsvariablen mit den Parametern . Dann definieren wir . Die Variable , beide gemeinsam ein , verursacht das Paar korreliert. Dann müssen wir die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion berechnen:X0,X1,X2X0,X1,X2θ0,θ1,θ2θ0,θ1,θ2Y1=X0+X1,Y2=X0+X2X0Y1Y2(Y1,Y2)

P(Y1=y1,Y2=y2)=P(X0+X1=y1,X0+X2=y2)=min(y1,y2)x0=0P(X0=x0)P(X1=y1x0)P(X2=y2y0)=min(y1,y2)x0=0eθ0θ0x0x0!eθ1θ1y1x0(y1x0)!eθ2θ2y2x0(y2x0)!=eθ0θ1θ2θ1y1θ2y2min(y1,y2)x0=0(θ0θ1θ2)x0x0!(y1x0)(y2x0)


hoffe, das hilft!
kjetil b halvorsen
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Hallo Kjetil - Ich habe die Probleme mit dem T behobenEX- Formatierung (aber um so wenig wie möglich zu ändern, blieben einige Tippfehler intakt). Ich verstehe nicht, warum Sie in meiner früheren Antwort eine Kopie der Ableitung veröffentlichen, insbesondere, wenn Sie auf dem Weg einige entscheidende Faktoren verloren haben, die dazu führen, dass das Endergebnis falsch ist. Gibt es einen bestimmten Punkt, den Sie ansprechen möchten?
Whuber
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whuber: Ich habe angefangen, meine Antwort zu schreiben, bevor Ihre Antwort dort gepostet wurde! sonst hätte ich es nicht geschrieben.
kjetil b halvorsen