wobei

8

Ich versuche, die Erwartung für beliebiges c < 0 zu berechnen (für c > 0 ist die Erwartung unendlich), wenn X logarithmisch verteilt ist, dh log ( X ) N ( μ , σ ) .

E[ecX]
c<0c>0Xlog(X)N(μ,σ)

Meine Idee war es, die Erwartung als Integral zu schreiben, aber ich sah nicht, wie ich vorgehen sollte:

E[ecX]=12σπ01xexp(cx(logxμ)22σ2)dx

Ich habe auch die Itô-Formel ausprobiert (die eigentliche Aufgabe besteht darin, wobei X eine geometrische Brownsche Bewegung ist, aber sie reduziert sich auf das obige Problem, weil wir einen Markov-Prozess betrachten). aber das sah auch nicht sehr vielversprechend aus. Kann mir jemand helfen?E[ecXTXt=x]X

Elias Strehle
quelle
2
Sie sollten in Betracht ziehen, Ihre Frage zu bearbeiten (indem Sie unten links auf den Link "Bearbeiten" klicken), um dieser Frage das Selbststudien- Tag hinzuzufügen .
Alexis
3
Dies existiert nur als formale Potenzreihe, die keinen Ausdruck in geschlossener Form hat.
whuber
1
Ich danke dir sehr! Obwohl ich nicht darauf gehofft habe, beweist es auch, dass mein Professor Unrecht hat. Und das ist eine Leistung für sich ;-)
Elias Strehle

Antworten:

7

Was Sie wollen, ist die Momenterzeugungsfunktion einer logarithmischen Normalvariablen, von der bekannt ist, dass sie ein schwieriges Problem darstellt. Alternativ ist dies die Laplace-Transformation, bei der durch - c ersetzt wird . Sie sollten einen Blick auf https://en.wikipedia.org/wiki/Log-normal_distribution werfen, der einige nützliche Informationen enthält.cc

Die Arbeit "Über die Laplace-Transformation der logarithmischen Normalverteilung" von Søren Asmussen, Jens Ledet Jensen und Leonardo Rojas-Nandayapa geben die folgende Annäherung, die sie im Detail untersuchen. Sei lognormal mit Parametern ( μ , σ 2 ) , was bedeutet, dass X = e Y mit Y N ( μ , σ 2 ) . Die Laplace-Transformation ist E ( exp ( - θ e y ) = e - θ μ E.X(μ,σ2)X=eYYN(μ,σ2) wobei Y 0N ( 0 , σ 2 ) . Wir betrachten also die Laplace-Transformation L ( θ ) = E ( exp ( - θ e Y 0 ) . Dann geben sie die Näherung an L. ( θ ) : 1

E(exp(θey)=eθμE(exp(θeY0)
Y0N(0,σ2)L(θ)=E(exp(θeY0)L(θ) wobeiθ nicht negativist. Hier istWdie Lambert W-Funktion, siehehttps://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_function . (Dann untersucht das Papier die Qualität dieser Näherung und vergleicht sie mit älteren Näherungen.)
11+W.(θσ2)exp{- -12σ2W.(θσ2)2- -1σ2W.(θσ2)}}
θW.
kjetil b halvorsen
quelle