Ich versuche, die Erwartung für beliebiges c < 0 zu berechnen (für c > 0 ist die Erwartung unendlich), wenn X logarithmisch verteilt ist, dh log ( X ) ∼ N ( μ , σ ) .
Meine Idee war es, die Erwartung als Integral zu schreiben, aber ich sah nicht, wie ich vorgehen sollte:
Ich habe auch die Itô-Formel ausprobiert (die eigentliche Aufgabe besteht darin, wobei X eine geometrische Brownsche Bewegung ist, aber sie reduziert sich auf das obige Problem, weil wir einen Markov-Prozess betrachten). aber das sah auch nicht sehr vielversprechend aus. Kann mir jemand helfen?
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distributions
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lognormal
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Elias Strehle
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Antworten:
Was Sie wollen, ist die Momenterzeugungsfunktion einer logarithmischen Normalvariablen, von der bekannt ist, dass sie ein schwieriges Problem darstellt. Alternativ ist dies die Laplace-Transformation, bei der durch - c ersetzt wird . Sie sollten einen Blick auf https://en.wikipedia.org/wiki/Log-normal_distribution werfen, der einige nützliche Informationen enthält.c - c
Die Arbeit "Über die Laplace-Transformation der logarithmischen Normalverteilung" von Søren Asmussen, Jens Ledet Jensen und Leonardo Rojas-Nandayapa geben die folgende Annäherung, die sie im Detail untersuchen. Sei lognormal mit Parametern ( μ , σ 2 ) , was bedeutet, dass X = e Y mit Y ∼ N ( μ , σ 2 ) . Die Laplace-Transformation ist E ( exp ( - θ e y ) = e - θ μ E.X. ( μ , σ2) X.= eY. Y.∼ N.( μ , σ2)
wobei Y 0 ∼ N ( 0 , σ 2 ) . Wir betrachten also die Laplace-Transformation L ( θ ) = E ( exp ( - θ e Y 0 ) . Dann geben sie die Näherung an L. ( θ ) :
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