Was ist die Intuition hinter der Unabhängigkeit von

Ich hatte gehofft, jemand könnte ein Argument vorschlagen, das erklärt, warum die Zufallsvariablen und , wobei die Standardnormalverteilung hat, statistisch unabhängig sind. Der Beweis für diese Tatsache ergibt sich leicht aus der MGF-Technik, aber ich finde sie äußerst kontraintuitiv.$Y_1=X_2-X_1$$Y_2=X_1+X_2$$X_i$

Ich würde mich daher über die Intuition hier freuen, wenn überhaupt.

Danke im Voraus.

BEARBEITEN : Die Indizes enthalten keine Auftragsstatistik, sondern IID-Beobachtungen aus der normalen Standardverteilung.

Dies sind normalverteilte Standarddaten: Beachten Sie, dass die Verteilung kreislaufsymmetrisch ist.

Wenn Sie zu und Y 2 = X 1 + X 2 wechseln, drehen und skalieren Sie die Achse wie folgt: Dieses neue Koordinatensystem hat denselben Ursprung wie das ursprüngliche und die Achse sind senkrecht. Aufgrund der Kreislaufsymmetrie sind die Variablen im neuen Koordinatensystem weiterhin unabhängig.$Y_1 = X_2 - X_1$$Y_2 = X_1 + X_2$

Das Ergebnis funktioniert für gemeinsam normal (dh mit Korrelation - 1 < ρ < 1 ) mit gemeinsamem σ .$(X_1,X_2)$$-1<\rho<1$$\sigma$

Wenn Sie ein paar grundlegende Ergebnisse kennen, ist dies ungefähr alles, was Sie brauchen:

$\quad\quad\quad$

Der Ansatz von dobiwan ist grundsätzlich in Ordnung - das Ergebnis ist nur allgemeiner als der dort behandelte Fall.

$X_1$$X_2$

Die Indizes enthalten keine Bestellstatistik, sondern Angaben aus der Standardnormalverteilung.

$X_1$$X_2$

$X_1+X_2$$X_1-X_2$$X_1$$X_2$$\pm \frac{\pi}{4}$$(X_1,X_2)\to (X_1+X_2, X_1-X_2)$

---

$X$$Y$

$X$$Y$$X+Y$$X-Y$

$$\begin{align} \operatorname{cov}(X+Y, X-Y) &= \operatorname{cov}(X,X) - \operatorname{cov}(X,Y) + \operatorname{cov}(Y,X) - \operatorname{cov}(Y,Y)\\ &= \operatorname{var}(X) - \operatorname{cov}(X,Y) + \operatorname{cov}(X,Y) - \operatorname{var}(Y)\\ &= 0. \end{align}$$ $\operatorname{cov}(X,X)$$\operatorname{var}(X)$$X$$Y$$\operatorname{cov}(Y,X) = \operatorname{cov}(X,Y)$$X$$Y$$X$$Y$$X+Y$$X-Y$$0$$X+Y$$X-Y$

$X_1,X_2$$Y_1$$Y_2$$0$$Y_1,Y_2$

Das bedingte Mittel

$X_1+X_2=y$$X_1=x, X_2 = y-x$$X_1 = y-x, X_2=x$

$X_1$$X_2$$X_1+X_2$$X_1 \mid Y_2 = y$$X_2 \mid Y_2 = y$

$$\begin{equation} \mathbb{E}(Y_1 \mid Y_2 = y) = \mathbb{E}(X_1 - X_2 \mid X_1+X_2 = y) \\ = \mathbb{E}(X_1 \mid X_1+X_2 = y) - \mathbb{E}(X_2 \mid X_1+X_2 = y)= 0. \end{equation}$$

(Einschränkung: Ich habe die Möglichkeit, dass das bedingte Mittel nicht existiert, nicht in Betracht gezogen.)

Ein konstanter bedingter Mittelwert impliziert eine Korrelation / Kovarianz von Null

$Y_1$$Y_2$$Y_2$$Y_1$$Y_1$$Y_2$

$$\begin{equation} Cov(Y_1,Y_2) = \mathbb{E}\left[\left(Y_1 - \mathbb{E}(Y_1)\right)\left(Y_2 -\mathbb{E}(Y_2) \right)\right] \end{equation}$$ $Y_2$ $$\begin{equation} = \mathbb{E}\left[\mathbb{E}\left[\left(Y_1 - \mathbb{E}(Y_1)\right)\left(Y_2 -\mathbb{E}(Y_2) \right) \mid Y_2\right]\right] = \mathbb{E}\left[(Y_2 - \mathbb{E}(Y_2))\mathbb{E}\left[Y_1 - \mathbb{E}(Y_1) \mid Y_2\right] \right]. \end{equation}$$ $Y_2$ $$\begin{equation} = \mathbb{E}\left[(Y_2 - \mathbb{E}(Y_2))\mathbb{E}\left[Y_1-\mathbb{E}(Y_1)\right]\right] \end{equation}$$ $0$ $$\begin{equation} = \mathbb{E}\left[(Y_2 - \mathbb{E}(Y_2))\times0\right] = 0. \end{equation}$$

Unabhängigkeit

$X_1,X_2$$Y_1$$Y_2$$X_1,X_2$$Y_1,Y_2$