Was ist die Intuition hinter der Unabhängigkeit von

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Ich hatte gehofft, jemand könnte ein Argument vorschlagen, das erklärt, warum die Zufallsvariablen und , wobei die Standardnormalverteilung hat, statistisch unabhängig sind. Der Beweis für diese Tatsache ergibt sich leicht aus der MGF-Technik, aber ich finde sie äußerst kontraintuitiv.Y1=X2X1Y2=X1+X2Xi

Ich würde mich daher über die Intuition hier freuen, wenn überhaupt.

Danke im Voraus.

BEARBEITEN : Die Indizes enthalten keine Auftragsstatistik, sondern IID-Beobachtungen aus der normalen Standardverteilung.

JohnK
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Was ist die "MGF-Technik"?
Amöbe sagt Reinstate Monica
@amoeba Es werden Momentgenerierungsfunktionen verwendet, um die Verteilung einer Zufallsvariablen zu bestimmen. In meinem Fall verweise ich auf den Satz, dass Y1 und Y2 genau dann unabhängig sind, wenn M(t1,t2)=M(t1,0)×M(0,t2) , M(t1,t2) ist gleich E(et1Y1+t2Y2). Wählen Sie eine andere Technik und ich bin zuversichtlich, dass Sie das gleiche Ergebnis erzielen.
JohnK
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Möglicherweise finden Sie einen Einblick in den eng verwandten Thread unter stats.stackexchange.com/questions/71260 .
Whuber
Sie erhalten möglicherweise eine gewisse Intuition, wenn Sie überlegen, was mit jedem dieser Elemente geschieht, wenn Sie jedem X eine Konstante hinzufügen, z. B. . Und was passiert, wenn Sie jedes X mit einer Konstanten multiplizieren , sagen Sie σμXXσ
rvl

Antworten:

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Dies sind normalverteilte Standarddaten: Streudiagramm im ersten Koordinatensystem Beachten Sie, dass die Verteilung kreislaufsymmetrisch ist.

Wenn Sie zu und Y 2 = X 1 + X 2 wechseln, drehen und skalieren Sie die Achse wie folgt: Dieses neue Koordinatensystem hat denselben Ursprung wie das ursprüngliche und die Achse sind senkrecht. Aufgrund der Kreislaufsymmetrie sind die Variablen im neuen Koordinatensystem weiterhin unabhängig.Y1=X2X1Y2=X1+X2Streudiagramm mit gedrehtem Koordinatensystem

dobiwan
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Das Ergebnis gilt auch dann, wenn und X 2 mit den normalen Rändern der Einheit korreliert sind. Ihre Erklärung deckt also nur einen Teil des ursprünglichen Ergebnisses ab. Die Grundidee hier ist jedoch Ton. X1X2
Glen_b
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@ Glen_b, ja, du hast recht. Ich wollte mich auf einen einfachen Fall konzentrieren, da JohnK bereits zu wissen scheint, wie man den allgemeinen Fall beweist, aber das intuitive Verständnis fehlt.
Dobiwan
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Das Ergebnis funktioniert für gemeinsam normal (dh mit Korrelation - 1 < ρ < 1 ) mit gemeinsamem σ .(X1,X2)1<ρ<1σ

Wenn Sie ein paar grundlegende Ergebnisse kennen, ist dies ungefähr alles, was Sie brauchen:

Bildbeschreibung hier eingeben

Der Ansatz von dobiwan ist grundsätzlich in Ordnung - das Ergebnis ist nur allgemeiner als der dort behandelte Fall.

Glen_b - Setzen Sie Monica wieder ein
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θ=12arctan(2ρσ1σ2σ12σ22)
±π4(X1,X2)(X1+X2.X1X2)
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X1X2

Die Indizes enthalten keine Bestellstatistik, sondern Angaben aus der Standardnormalverteilung.

X1X2

X1+X2X1X2X1X2±π4(X1,X2)(X1+X2,X1X2)


XY

XYX+YXY

cov(X+Y,XY)=cov(X,X)cov(X,Y)+cov(Y,X)cov(Y,Y)=var(X)cov(X,Y)+cov(X,Y)var(Y)=0.
cov(X,X)var(X)XYcov(Y,X)=cov(X,Y)XYXYX+YXY0X+YXY
Dilip Sarwate
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X1,X2Y1Y20Y1,Y2

Das bedingte Mittel

X1+X2=yX1=x,X2=yxX1=yx,X2=x

X1X2X1+X2X1Y2=yX2Y2=y

E(Y1Y2=y)=E(X1X2X1+X2=y)=E(X1X1+X2=y)E(X2X1+X2=y)=0.

(Einschränkung: Ich habe die Möglichkeit, dass das bedingte Mittel nicht existiert, nicht in Betracht gezogen.)

Ein konstanter bedingter Mittelwert impliziert eine Korrelation / Kovarianz von Null

Y1Y2Y2Y1Y1Y2

Cov(Y1,Y2)=E[(Y1E(Y1))(Y2E(Y2))]
Y2
=E[E[(Y1E(Y1))(Y2E(Y2))Y2]]=E[(Y2E(Y2))E[Y1E(Y1)Y2]].
Y2
=E[(Y2E(Y2))E[Y1E(Y1)]]
0
=E[(Y2E(Y2))×0]=0.

Unabhängigkeit

X1,X2Y1Y2X1,X2Y1,Y2

Juho Kokkala
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