Wie entwickelt man Intuition für bedingte Wahrscheinlichkeit?

In den Videovorträgen von Harvards Statistikkurs 110: Wahrscheinlichkeitsrechnung , die auf iTunes und YouTube zu finden sind, bin ich auf dieses Problem gestoßen . Ich habe versucht, es hier zusammenzufassen:

Angenommen, wir erhalten eine zufällige Zwei-Karten-Hand aus einem Standardstapel.

1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Karten Asse sind, vorausgesetzt, wir haben mindestens ein Ass?

$$P(both\ aces | have\ ace) = \frac{P(both\ aces, have\ ace)}{P(have\ ace)}$$

Da mindestens ein Ass vorausgesetzt wird, wenn Sie beide Asse haben, kann der Schnittpunkt auf nur reduziert werden.$P(both\ aces)$

$$P(both\ aces | have\ ace) = \frac{P(both\ aces)}{P(have\ ace)}$$

Das ist dann eben

$$P(both\ aces | have\ ace) = \frac{4C2\ /\ 52C2}{1-48C2\ /\ 52C2}=\frac{1}{33}$$

2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Karten Asse sind, wenn wir das Pik-As haben?

$$P(both\ aces | have\ ace\ of\ spades)=\frac{P(both\ aces, have\ ace\ of\ spades)}{P(have\ ace\ of\ spades)}$$

$$P(both\ aces | have\ ace\ of\ spades)=\frac{(3C1*1C1)\ /\ 52C2}{2!*\frac{51}{52}*\frac{1}{51}}=\frac{1}{17}$$

Irgendwo bei diesen Beispielen habe ich mich verlaufen ...

Letzteres ist offensichtlich dasselbe wie , was (für mich) sehr sinnvoll ist, dass dies die Antwort wäre. Wenn Ihnen gesagt wird, dass Sie das Pik-Ass haben, dann wissen Sie, dass es weitere Asse und weitere Karten gibt. 3$\frac{3}{51}$$3$$51$

Aber im ersten Beispiel scheint die Mathematik in Ordnung zu sein (und ich glaube, der Dozent würde dieses Beispiel nicht geben, wenn es falsch wäre ...), aber ich kann mich nicht darum kümmern.

Wie bekomme ich eine Vorstellung von diesem Problem?

Betrachten Sie zur Unterstützung der Intuition die Visualisierung von zwei Ereignissen (Ergebnismengen):

1. Das Konditionierungsereignis, bei dem es sich um die angegebenen Informationen handelt.

2. Das konditionierte Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit Sie gerne finden würden.

Die bedingte Wahrscheinlichkeit wird ermittelt, indem die Chance der Sekunde durch die Chance der Ersten geteilt wird.

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Es gibt gleichermaßen wahrscheinliche Möglichkeiten, zwei Karten nach dem Zufallsprinzip zu verteilen . Eine bequeme Möglichkeit, diese Deals zu visualisieren, besteht darin, sie in einer Tabelle anzuordnen, in der beispielsweise Zeilen die erste Karte bezeichnen und Spalten die zweite Karte im Deal enthalten. Hier ist ein Teil dieser Tabelle mit Ellipsen ( ), die die fehlenden Teile bezeichnen. Beachten Sie, dass entlang der Hauptdiagonale der Tabelle keine Einträge vorhanden sind, da die beiden Karten nicht identisch sein können. Die Reihen und Spalten sind von Assen bis zu Königen geordnet:$52 \times 51$$\cdots$

Die Fragen konzentrieren sich auf Asse. Die Information "Wir haben mindestens ein Ass" lokalisiert das Paar entweder in den ersten vier Zeilen oder in den ersten vier Spalten. In unserem Kopf können wir dies schematisch veranschaulichen, indem wir diese Zeilen und Spalten einfärben. Ich habe sie rot gefärbt, aber wo beide Asse auftauchen, habe ich sie schwarz gefärbt:

Es gibt Paare aller Asse und andere Paare mit mindestens einem Ass, für insgesamt Paare, auf die Sie gemäß Darstellung konditionieren durch die roten und schwarzen Bereiche. Da alle solche Paare gleich wahrscheinlich sind, ist die Chance des ersteren2 × ( 4 × 48 ) = 384 12 + 384 = $2\times 6 = 12$$2\times (4\times 48) = 384$$12+384=396$

$$\frac{12}{396} = \frac{1}{33}.$$

Es ist der Schwarzanteil der Rot + Schwarz-Region.

Die zweite Frage lautet: "Wir haben das Pik-As." Dies entspricht nur der ersten Zeile und Spalte:

Jetzt gibt es nur solcher Paare mit zwei Assen und andere Paare mit dem Pik-Ass, was insgesamt solcher Paare ergibt. Genau wie zuvor ist die Chance auf zwei Asse2 × 48 = 96 96 + 6 = $2\times 3 = 6$$2\times 48=96$$96+6 = 102$

$$\frac{6}{102} = \frac{1}{17}.$$

Wieder ist es der schwarze Anteil der rot + schwarzen Region.

Als Referenz enthält die letzte Abbildung die vorherige, die in Pink und Grau dargestellt ist. Der Vergleich dieser Regionen zeigt, was passiert ist: Von der ersten zur zweiten Frage ging die Anzahl der Paare im Konditionierungsereignis (pink) auf etwa ein Viertel der ursprünglichen Anzahl (rot) zurück, während die Anzahl der fraglichen Paare sank um nur die Hälfte (von grau nach schwarz, bis ).$12$$6$

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Ich habe solche schematischen Abbildungen als hilfreich empfunden, auch wenn ich versuchte, kompliziertere Wahrscheinlichkeitsbegriffe wie die Filtration von Sigma-Algebren zu verstehen .

Eine andere Möglichkeit, ein Problem einzurichten, das zur zweiten Berechnung führt, ist die folgende:

Sie ziehen zwei Karten aus dem Stapel. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für zwei Asse, wenn die erste Karte, die Sie gezogen haben, ein Ass ist?

Diese Formulierung erleichtert den Kontrast zur ersten Berechnung. Die zugrunde liegende Chance, zwei Asse ausgewählt zu haben, ändert sich nicht, aber die Bedingung, die erste Karte als Ass zu haben, ist restriktiver als die Bedingung, wenn es sich um ein Ass handelt. Dies bedeutet, dass bei der bedingten Wahrscheinlichkeitsberechnung die gewünschte Kombination unter weniger Optionen auftreten muss, sodass die Wahrscheinlichkeit größer ist.

Die beiden unterschiedlichen Formulierungen (Pik-As gegenüber der ersten Karte als Ass) sind ähnlich, da sie die Symmetrie / Austauschbarkeit zwischen den Assen aufheben: Die Farbe oder die Reihenfolge kann nicht beliebig vertauscht werden.

Am Anfang war es mir schwer, eine gewisse Intuition darüber zu haben.

Eine Idee ist, das Problem an seine Grenzen zu bringen. In diesem Fall ist, wie Steve feststellte, ein identisches Problem: Mein Nachbar hat zwei Kinder - Sie wissen, dass eines von ihnen ein Junge ist. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie zwei Jungen hat?

Die erste Idee ist, ok, ich habe einen Jungen, das andere Kind hat die halbe Chance, ein Mädchen und die halbe Chance, ein Junge zu sein, aber in diesem Fall nehmen Sie nicht alle Informationen, die Ihnen die Tatsache geben ( Zumindest haben Sie einen Jungen), weil implizit dieser Junge das jüngste Kind sein kann, das älteste ein Mädchen oder umgekehrt ist, oder beide Jungen sind, was bedeutet, dass nur eines der drei möglichen Ergebnisse günstig ist.

Wie ich schon sagte, ist es einfacher, das Problem an seine Grenzen zu bringen ...

Fall 1: Abstrakter Fall identisch mit "wir haben ein Ass" -> In diesem Fall stellt sich vor, mein Nachbar hat nicht 2 Kinder, sondern 27, und Sie wissen, 26 sind Jungen, die Wahrscheinlichkeit dafür ist fast Null. In diesem Fall ist es klar, dass diese Information Ihnen viele Informationen darüber gibt, dass das wahrscheinlich verbleibende Kind ein Mädchen ist. Um genau zu sein, haben Sie einen Fall mit 27 Jungen, sagen wir ein Tupel (b, b, b, b, b, b ..., b) und 27 Fälle mit 1 Mädchen und 26 Jungen (g, b, b) , b ...), (b, g, b, b, b ...), also ist die Wahrscheinlichkeit aller Jungen 1/27, im Allgemeinen wird es 1 / (N + 1) sein

case2: Konkrete Informationen. Dies wäre identisch mit "Wir haben das Pik-Ass" oder "Wir haben die erste Karte, die ein Ass ist". Stellen Sie sich vor, unsere Nachbarin hat 26 Kinder, alle Jungen, und ist mit dem 27. schwanger. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der 27. ein Junge sein wird?

Mit case2 bin ich mir ziemlich sicher, dass wir alle ein Gespür für die Intuition haben können, die für diese Art von nicht so offensichtlichen Problemen mit bedingten Wahrscheinlichkeiten erforderlich ist.

Wenn Sie reich werden wollen, müssen Sie auf den ersten Fall mit 26 Jungen und einen 27. wetten, denn der Mangel an konkreten Informationen bedeutet eine Menge probabilistischer Energie für das verbleibende Kind, während im zweiten Fall die Entropie riesig ist, die wir haben Keine Informationen, um zu wissen, wo man wetten soll.

Ich hoffe das ist nützlich

Wie kann man sagen, dass die Antwort 3/51 ist, ohne zu rechnen?

Wenn Sie das Pik-As an erster Stelle genommen haben. Ich weiß, welche Karten im Paket sind. Es gibt also noch 3 Asse auf 51 Karten. für das zweite hast du also 3/51 Chancen, zwei Asse zu haben.

Und wie kann man den Unterschied zwischen den beiden Szenarien intuitiv verstehen?

Das liegt daran, dass "Have one ace" in "Have two aces" enthalten ist. "Haben Sie das Pik-As" ist in "Haben Sie zwei Asse" nicht enthalten. Das ist der Unterschied.

In der Tat, wenn Sie zwei Asse haben, haben Sie eines, aber vielleicht nicht das Pik-As. Es ist also nicht die gleiche Wahrscheinlichkeit.

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