Warum Menschen oft die Determinante von

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Angenommen , ich habe einen Zufallsvektor und Σ & ne; & sgr; 2 I . Das heißt, die Elemente von Y (gegebenes X & bgr; ) sind korreliert.YN(Xβ,Σ)Σσ2IYXβ

Die natürlichen Schätzer von ist ( X ' Σ - 1 X ) - 1 X ' Σ - 1 Y und var ( β ) = ( X ' Σ - 1 X ) - 1β(XΣ1X)1XΣ1Yvar(β^)=(XΣ1X)1

In einem Design - Kontext kann der Experimentator mit dem Design Geige , die in verschiedenen führen und Σ so unterschiedliche var ( β ) . Um ein optimales Design zu wählen, sehe ich, dass Menschen oft versuchen, die Determinante von ( X Σ - 1 X ) - 1 zu minimieren. Welche Intuition steckt dahinter?XΣvar(β^)(XΣ1X)1

Warum nicht beispielsweise die Summe seiner Elemente minimieren?

Qoheleth
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Antworten:

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(XΣ1X)1(XΣ1X)unter linearen Transformationen der Regressorvariablen, was ein großer praktischer Vorteil ist. Invarianz bedeutet, dass die Optimalität nicht durch Dinge wie die Wahl der Maßeinheiten (wie m oder km ) beeinflusst wird. Bei nichtinvarianten Optimalitätskriterien kann das Ergebnis von irrelevanten Faktoren wie der Auswahl der Maßeinheiten abhängen.

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kjetil b halvorsen
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Gute Antwort. Vielleicht wäre eine Sache, die hinzugefügt werden müsste, das A-Optimalitätskriterium, das die Spur der Var-Cov-Matrix ist. Hier minimieren wir also die Summe der Varianzen. Dies geht ein bisschen in die Richtung, nach der das OP gefragt hat.
Wolfgang
Wolfgang: Ja, aber die Spur (A)) - Optimalitätskriterium ist immer noch nicht unveränderlich! Aber es kann mit Vorsicht verwendet werden ...
kjetil b halvorsen
Richtig, guter Punkt.
Wolfgang
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Soweit ich das beurteilen kann, liefert diese Antwort nur eine Motivation für ein D-optimales Design: dass es bei linearen Transformationen unveränderlich ist. Obwohl dies eine nette Funktion ist, scheint es mir nicht wirklich zu motivieren, warum man D-Optimum verwenden sollte. Viele andere Metriken sind bei linearen Transformationen ebenfalls unveränderlich und an reale Fragen von Interesse gebunden, z. B. die Minimierung der Varianz eines Schätzers eines festen Interessenkontrasts. Ich habe mich oft gefragt, warum Leute D-Optimum verwenden und keinen guten Grund finden konnten!
Cliff AB
@ Cliff AB: Ich werde versuchen, die Antwort zu erweitern
kjetil b halvorsen