Ableiten der posterioren Dichte für eine logarithmische Wahrscheinlichkeit und Jeffreys 'Prior

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Die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer logarithmischen Normalverteilung ist:

f(x;μ,σ)i1n1σxiexp((lnxiμ)22σ2)

und Jeffreys 'Prior ist:

p(μ,σ)1σ2

Die Kombination der beiden ergibt also:

f(μ,σ2|x)=i1n1σxiexp((lnxiμ)22σ2)σ2

Ich weiß, dass die hintere Dichte für invers Gamma-verteilt ist, also muss ich berechnenσ2

f(σ2|x)=f(μ,σ2|x)dμ

aber ich habe keine Ahnung, wo ich hier anfangen soll.

Nach Glen_bs Kommentar probiere ich es aus:

f(μ,σ2|x)=i1n1σxiexp((lnxiμ)22σ2)σ2

=σn2i=1n1xiexp(12σ2i=1n(lnxiμ))

aber ich kann das nirgendwo sehen.

Eine andere Idee, die ich hatte, ist, zu definieren , dann ist normalverteilt. Damityyi=ln(xi)y

f(μ,σ2|y)=[i=1n12π1σexp(12σ2(yiμ)2)]1σ2

=σ-n-2exp(-1σn2exp(12σ2i=1n(yiy¯)2+n(y¯μ)2) =σ-n-2exp(-1=σn2exp(12σ2((n1)s2+n(y¯μ)2)) =σn2exp(12σ2((n1)s2)exp(n(y¯μ)2))

dann integrieren:

σn2exp(12σ2((n1)s2)exp(12σ2n(y¯μ)2))dμ

Durch die von Ihnen vorgeschlagene Methode erhalte ich:

exp(12σ2n(y¯μ)2))dμ=2πσ2n

Damit:

(σ2)(n+1)/2exp(12σ2((n1)s2)

Das ist in der Tat invers Gamma verteilt.

Aber ich bin mir nicht sicher, ob dies richtig ist, es ist auch das gleiche Ergebnis, das ich für eine normale Wahrscheinlichkeit bekomme.

Ich fand dies in der Literatur (ohne weitere Erklärung):

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

spore234
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Lassen Sie in Ihrer ersten mathematischen Zeile (der Wahrscheinlichkeit) den Term nicht in der Konstante fallen. σ
Glen_b -State Monica
2
Das ist Sir Harold Jeffreys, also sind Jeffreys Prior, Jeffreys 'Prior und Jeffreys' Prior alle vertretbar, aber Jeffreys ist falsch. Er bevorzugte die letzte Form.
Nick Cox
Wenn Sie nun beide kombinieren, behalten Sie diese Begriffe bei.σ
Glen_b
Das, was Sie in der Literatur gefunden haben, ist ein Posterior für . θ=(μ,σ)
Glen_b -Rate State Monica

Antworten:

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Beachten Sie, dass - als Funktion in - das, was Sie haben, proportional zu einer normalen Dichte ist.μ

Schritt 1 besteht also darin, das Quadrat in , das sich im Exponenten befindet, zu vervollständigen , die Vorderseite des Integrals alle überflüssigen Konstanten herauszuziehen und dann den Term im Integral mit der Konstante zu multiplizieren, die erforderlich ist, um es zu 1 zu machen. Teilen Sie dann in auf vor dem Integral durch dieselbe Konstante (damit Sie den Wert des Gesamtausdrucks nicht ändern).μ

Da Sie eine Dichte im Integral haben, ersetzen Sie den Term im Integral durch 1.

Sie haben eine Funktion von (eine, die fiktiv durch etwas ersetzt hat, das einer Schätzung ähnelt).σμ

Sehen Sie nun die Dichte für ein inverses Gamma hier :

f(x;α,β)=βαΓ(α)xα1exp(βx)

(in diesem Fall unter Verwendung einer Formskalenparametrisierung).

Vorausgesetzt, Sie haben den vorherigen korrekten Wert (das habe ich nicht überprüft) -

Sie suchen eine hintere Dichte für . Beachten Sie, dass Ihre Funktion nach der Integration in der Form . c ( σ 2 ) - etwasexp ( - etwas anderes / σ 2 )σ2c(σ2)somethingexp(something-else/σ2)

Sie haben also einen Ausdruck proportional zu einer inversen Gammadichte in . (Da es sich um eine Dichte handeln muss, geben Sie die erforderliche Konstante an, die für die Integration in 1 erforderlich ist.)σ2

Glen_b -Reinstate Monica
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Sie mussten nicht wirklich in ändern . Es sind beobachtete Daten, das sind also nur Konstanten. Es ist , das ist die Variable. Du hast das Quadrat fertiggestellt. Beachten Sie, dass es in einen Begriff gibt und in . Der nächste Schritt von dort, wo Sie hingekommen sind, ist bereits in meiner Antwort. y μ μ μln(x)yμμμ
Glen_b -State Monica
Ich habe meinen Beitrag erneut aktualisiert (der Einfachheit halber habe ich das y beibehalten)
spore234
Wie leite ich das Ergebnis in der Literatur ab?
Spore234
Durch so ziemlich den gleichen Ansatz wie oben, aber Sie integrieren heraus, sondern ziehen einfach die Begriffe heraus. μ
Glen_b -Rate State Monica