Erklärung für nicht ganzzahlige Freiheitsgrade bei t-Test mit ungleichen Varianzen

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Das SPSS t-Test-Verfahren meldet 2 Analysen, wenn 2 unabhängige Mittelwerte verglichen werden, eine Analyse mit angenommenen gleichen Abweichungen und eine mit nicht angenommenen gleichen Abweichungen. Die Freiheitsgrade (df) bei Annahme gleicher Varianzen sind immer ganzzahlige Werte (und gleich n-2). Die df, wenn gleiche Varianzen nicht angenommen werden, sind nicht ganzzahlig (z. B. 11,467) und liegen bei n-2. Ich suche eine Erklärung der Logik und der Methode, die verwendet werden, um diese nicht ganzzahligen df zu berechnen.

Joel W.
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Eine PowerPoint-Präsentation der Universität von Florida enthält einen guten Überblick darüber, wie diese Annäherung an die Stichprobenverteilung der Student-Statistik für den Fall ungleicher Abweichungen abgeleitet wird.
Whuber
Ist der T-Test des Welch immer genauer? Gibt es einen Nachteil bei der Verwendung des Welch-Ansatzes?
Joel W.
Wenn der Welch und der ursprüngliche T-Test dramatisch unterschiedliche Ps ergeben, zu welchem ​​sollte ich gehen? Was ist, wenn der p-Wert für die Unterschiede in den Varianzen nur 0,06 beträgt, die Unterschiede in den p-Werten der beiden t-Tests jedoch 0,000 und 0,121 betragen? (Dies geschah, wenn eine Gruppe von 2 keine Varianz hatte und die andere Gruppe von 25 eine Varianz von 70.000 hatte.)
Joel W.
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Wählen Sie nicht zwischen ihnen auf der Grundlage des Werts. Wenn Sie keinen guten Grund haben (bevor Sie die Daten überhaupt sehen), die gleiche Varianz anzunehmen, gehen Sie einfach nicht von dieser Annahme aus. p
Glen_b -Reinstate Monica
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Die Fragen beziehen sich alle auf den Zeitpunkt der Verwendung des Welch-Tests. Diese Frage wurde veröffentlicht unter stats.stackexchange.com/questions/116610/…
Joel W.

Antworten:

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Der Welch-Satterthwaite df kann als skaliertes gewichtetes harmonisches Mittel der beiden Freiheitsgrade mit Gewichten im Verhältnis zu den entsprechenden Standardabweichungen dargestellt werden.

Der ursprüngliche Ausdruck lautet:

νW=(s12n1+s22n2)2s14n12ν1+s24n22ν2

Beachten Sie, dass ist die geschätzte Varianz des i - ten Stichprobenmittelwert oder das Quadrat des i -ten Standardfehler des Mittelwerts . Sei r = r 1 / r 2 (das Verhältnis der geschätzten Varianzen des Stichprobenmittels), sori=si2/niithir=r1/r2

νW=(r1+r2)2r12ν1+r22ν2=(r1+r2)2r12+r22r12+r22r12ν1+r22ν2=(r+1)2r2+1r12+r22r12ν1+r22ν2

The first factor is 1+sech(log(r)), which increases from 1 at r=0 to 2 at r=1 and then decreases to 1 at r=; it's symmetric in logr.

The second factor is a weighted harmonic mean:

H(x_)=i=1nwii=1nwixi.

of the d.f., where wi=ri2 are the relative weights to the two d.f.

Which is to say, when r1/r2 is very large, it converges to ν1. When r1/r2 is very close to 0 it converges to ν2. When r1=r2 you get twice the harmonic mean of the d.f., and when s12=s22 you get the usual equal-variance t-test d.f., which is also the maximum possible value for νW.

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With an equal-variance t-test, if the assumptions hold, the square of the denominator is a constant times a chi-square random variate.

The square of the denominator of the Welch t-test isn't (a constant times) a chi-square; however, it's often not too bad an approximation. A relevant discussion can be found here.

A more textbook-style derivation can be found here.

Glen_b -Reinstate Monica
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Great insight about the harmonic mean, which is more appropriate than arithmetic mean for averaging ratios.
Felipe G. Nievinski
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What you are referring to is the Welch-Satterthwaite correction to the degrees of freedom. The t-test when the WS correction is applied is often called Welch's t-test. (Incidentally, this has nothing to do with SPSS, all statistical software will be able to conduct Welch's t-test, they just don't usually report both side by side by default, so you wouldn't necessarily be prompted to think about the issue.) The equation for the correction is very ugly, but can be seen on the Wikipedia page; unless you are very math savvy or a glutton for punishment, I don't recommend trying to work through it to understand the idea. From a loose conceptual standpoint however, the idea is relatively straightforward: the regular t-test assumes the variances are equal in the two groups. If they're not, then the test should not benefit from that assumption. Since the power of the t-test can be seen as a function of the residual degrees of freedom, one way to adjust for this is to 'shrink' the df somewhat. The appropriate df must be somewhere between the full df and the df of the smaller group. (As @Glen_b notes below, it depends on the relative sizes of s12/n1 vs s22/n2; if the larger n is associated with a sufficiently smaller variance, the combined df can be lower than the larger of the two df.) The WS correction finds the right proportion of way from the former to the latter to adjust the df. Then the test statistic is assessed against a t-distribution with that df.

gung - Reinstate Monica
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For one t-test, SPSS reports the df as 26.608 but the n's for the two groups are 22 and 104. Are you sure about " The appropriate df must be somewhere between the full df and the df of the larger group"? (The standard deviations are 10.5 and 8.1 for the smaller and larger groups, respectively.)
Joel W.
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It depends on the relative sizes of s12/n1 vs s22/n2. If the larger n is associated with a sufficiently larger variance, the combined d.f. can be lower than the larger of the two d.f. Note that the Welch t-test is only approximate, since the squared denominator is not actually a (scaled) chi-square random variate. However in practice it does quite well.
Glen_b -Reinstate Monica
I think I'll expand on the relationship between the relative sizes of the (si2/ni) and the Welch d.f. in an answer (since it won't fit in a comment).
Glen_b -Reinstate Monica
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@Glen_b, I'm sure that will be of great value here.
gung - Reinstate Monica