Ich weiß also, wenn wir die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Summe unabhängiger Zufallsvariablen , können wir sie aus den Wahrscheinlichkeitsverteilungen von X und Y berechnen , indem wir sagen
Intuitiv ist dies sinnvoll, denn wenn wir die Wahrscheinlichkeit , dass zwei Zufallsvariablen Summe finden wollen , es ist im Grunde die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ereignisse, das zu diesen Variablen führen zu Summieren ein . Aber wie kann ich diese Aussage formell beweisen?
probability
Jessica
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Die allgemeinere Lösung berücksichtigt wobei X und Y nicht unbedingt unabhängig sind. Eine gängige Lösungsstrategie für Probleme, bei denen Sie sich fragen, woher ein PDF stammt oder wie Sie es rechtfertigen können, besteht darin, stattdessen wahrscheinlich eine Kumulierung zu finden und dann zu differenzieren, um die CDF auf ein PDF zu reduzieren.Z=X+Y X Y
Es ist ziemlich leicht zu erkennen, dass in diesem Fall wobei R der Bereich der x - y Ebene ist, für den x + y ≤ z ist .FZ(z)=P(Z≤z)=∫∫RfX,Y(x,y)dxdy R x y x+y≤z
Dies ist der blau schraffierte Bereich im folgenden Diagramm. Es ist natürlich, sich über diese Region zu integrieren, indem man sie in Streifen zerlegt - ich habe es mit vertikalen Streifen gemacht, aber horizontale werden es tun. Tatsächlich erhalte ich für jede -Koordinate einen Streifen im Bereich von - ∞ bis ∞ , und entlang jedes Streifens möchte ich, dass die y- Werte nicht über die Linie x + y = z steigen , also y ≤ z - x .x −∞ ∞ y x+y=z y≤z−x
Meine Notation für die Integrale folgt genau Abschnitt 6.4 von Geoffrey Grimmett und Dominic Walsh, Wahrscheinlichkeit: Eine Einführung , Oxford University Press, New York, 2000.
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wie gewünscht.
Dies schließt beispielsweise die üblichen Formeln für diskrete Zufallsvariablen ein, wenn auch in einer etwas anderen Form als üblich (da dies eher in Form der CDFs als der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktionen angegeben wird).
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