Ein stochastischer Prozess ist ein Prozess, der sich im Laufe der Zeit entwickelt. Ist es also wirklich eine schickere Art, "Zeitreihen" zu sagen?
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Ein stochastischer Prozess ist ein Prozess, der sich im Laufe der Zeit entwickelt. Ist es also wirklich eine schickere Art, "Zeitreihen" zu sagen?
Antworten:
Da sich in Kommentaren und Antworten viele beunruhigende Unstimmigkeiten zeigen, wenden wir uns an einige Behörden.
James Hamilton definiert nicht einmal eine Zeitreihe, aber er ist sich darüber im Klaren, was eine ist:
( Zeitreihenanalyse , Kapitel 3.)
Somit ist ein "Zeitreihenprozess" eine Menge von Zufallsvariablen die durch ganze Zahlen indiziert sind .{Yt} t
Bernt Øksendal liefert in Stochastic Differential Equations eine mathematische Standarddefinition eines allgemeinen stochastischen Prozesses:
Wenn wir die beiden zusammenfassen, sehen wir, dass ein Zeitreihenprozess ein stochastischer Prozess ist, der durch ganze Zahlen indiziert wird.
Einige Leute verwenden "Zeitreihen", um sich auf die Realisierung eines Zeitreihenprozesses zu beziehen (wie im Wikipedia-Artikel ). Wir können in Hamiltons Sprache einen vernünftigen Versuch sehen, den Prozess von der Realisierung durch die Verwendung des "Zeitreihenprozesses" zu unterscheiden, so dass er "Zeitreihen" verwenden kann, um auf Realisierungen (oder sogar Daten) zu verweisen.
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Ein stochastischer Prozess ist eine Menge oder Sammlung von Zufallsvariablen (nicht unbedingt unabhängig), wobei der Index t Werte in einer bestimmten Menge annimmt. Diese Menge ist geordnet und entspricht dem Zeitpunkt. Beispiel zufälliger Spaziergang. Zeitreihe Ist die Realisierung des stochastischen Prozesses.{Xt}
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Definieren eines stochastischen Prozesses
Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum. Sei ein weiterer messbarer Raum (zB der Raum reeller Zahlen ). Etwas ungenau gesagt:(Ω,F,P) S R
Zeitreihen definieren
Während ein stochastischer Prozess eine kristallklare, mathematische Definition hat. Eine Zeitreihe ist ein weniger präziser Begriff. Mit Zeitreihen werden zwei verwandte, aber unterschiedliche Objekte bezeichnet:
Beispiel: zwei Flips einer Wende
Sei . Sei das Ergebnis von Flip 1 bzw. 2.Ω={ωHH,ωHT,ωTH,ωTT} X1,X2
Es ist also klar, dass ein stochastischer Prozess ist. Leute können es auch eine Zeitreihe nennen, da die Indizierung durch ganze Zahlen erfolgt. Leute können auch die Verwirklichung von , z. , eine Zeitreihe oder Zeitreihendaten.X X ( ω H H ) = ( H , H ){X1,X2} X X(ωHH)=(H,H)
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Der Unterschied zwischen einem stochastischen Prozess und einer Zeitreihe ähnelt dem Unterschied zwischen einer Katze auf einer Tastatur und einer Antwort auf Stack Exchange: Katzen auf Tastaturen können Antworten liefern, Katzen auf Tastaturen sind jedoch keine Antworten. Darüber hinaus wird nicht jede Antwort von einer Katze auf einer Tastatur erzeugt.
Eine Zeitreihe kann als Sammlung von Zeit-Wert-Datenpunkt-Paaren verstanden werden. Ein stochastischer Prozess ist dagegen ein mathematisches Modell oder eine mathematische Beschreibung einer Verteilung von Zeitreihen¹. Einige Zeitreihen sind eine Realisierung von stochastischen Prozessen (jeder Art). Oder aus einer anderen Sicht: Ich kann einen stochastischen Prozess als Modell verwenden, um eine Zeitreihe zu generieren.
Darüber hinaus können Zeitreihen auch auf andere Weise generiert werden:
Sie können das Ergebnis von Beobachtungen sein und werden so von der Realität erzeugt. Während ich Realität als stochastischen Prozess modellieren kann (ich könnte auch sagen, dass ich Realität als stochastischen Prozess betrachte), ist Realität kein stochastischer Prozess in der gleichen Weise, wie das Innere einer Kiste keine Menge von Punkten ist (obwohl wir es oft tun) Betrachten Sie die beiden Äquivalente in Modellierungskontexten.
Sie können durch deterministische Prozesse erzeugt werden. Genau genommen könnten (und sollten) wir stochastische Prozesse und deterministische Prozesse so definieren, dass letztere Sonderfälle der ersteren sind, aber wir machen sehr selten davon Gebrauch und sprechen von deterministischen Prozessen als Sonderfällen stochastischer Prozesse kann Verwirrung stiften - Sie könnten es damit vergleichen, dass Sie ein System nichtlinearer Gleichungen bezeichnen.x=2
¹ Wenn es sich um einen zeitdiskreten stochastischen Prozess handelt. Kontinuierlicher stochastischer Prozess sind eher Funktionsverteilungen als Zeitreihen.
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Ich freue mich über alle Beiträge / Kommentare zum Thema Zeitreihen vs. stochastischer Prozess. Hier ist mein Verständnis des Unterschieds: Zeitreihen sind beobachtete Phänomene, die als eine Reihe von Zahlen aufgezeichnet werden, die mit der Zeit bei der Beobachtung indiziert sind; Es handelt sich höchstwahrscheinlich um eine Reihe von Beobachtungen eines realen Phänomens wie der Aktienkurse an der New Yorker Börse. Andererseits wird unter stochastischem Prozess wie immer eine mathematische Darstellung (keine Produktion) der Zeitreihe verstanden.
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