Grenzwahrscheinlichkeit aus der Gibbs-Ausgabe

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Ich reproduziere die Ergebnisse in Abschnitt 4.2.1 von Grund auf

Grenzwahrscheinlichkeit aus der Gibbs-Ausgabe

Siddhartha Chib

Journal of the American Statistical Association, Bd. 90, Nr. 432 (Dez. 1995), S. 1313-1321.

Es ist eine Mischung aus Normalmodellen mit einer bekannten Anzahl von Komponenten. k1

f(xw,μ,σ2)=ich=1nj=1kN(xichμj,σj2).()

Der Gibbs-Sampler für dieses Modell wird unter Verwendung der Datenerweiterungstechnik von Tanner und Wong implementiert. Eine Menge von Zuordnungsvariablen z=(z1,,zn) den Werten 1,,k wird eingeführt, und wir geben an, dass Pr(zich=jw)=wj und f(xichz,μ,σ2)=N(xichμzich,σzich2) . Daraus folgt, dass die Integration über die zich die ursprüngliche Wahrscheinlichkeit (*) ergibt ().

Der Datensatz besteht aus Geschwindigkeiten von 82 Galaxien aus der Corona Borealis-Konstellation.

set.seed(1701)

x <- c(  9.172,  9.350,  9.483,  9.558,  9.775, 10.227, 10.406, 16.084, 16.170, 18.419, 18.552, 18.600, 18.927,
        19.052, 19.070, 19.330, 19.343, 19.349, 19.440, 19.473, 19.529, 19.541, 19.547, 19.663, 19.846, 19.856,
        19.863, 19.914, 19.918, 19.973, 19.989, 20.166, 20.175, 20.179, 20.196, 20.215, 20.221, 20.415, 20.629,
        20.795, 20.821, 20.846, 20.875, 20.986, 21.137, 21.492, 21.701, 21.814, 21.921, 21.960, 22.185, 22.209,
        22.242, 22.249, 22.314, 22.374, 22.495, 22.746, 22.747, 22.888, 22.914, 23.206, 23.241, 23.263, 23.484,
        23.538, 23.542, 23.666, 23.706, 23.711, 24.129, 24.285, 24.289, 24.366, 24.717, 24.990, 25.633, 26.960,
        26.995, 32.065, 32.789, 34.279 )

nn <- length(x)

Wir nehmen an, dass , die 's und die ' s a priori unabhängig sind mit μ j σ 2 j ( w 1 , , w k ) D i r ( a 1 , , a k )wμjσj2

(w1,,wk)Dir(a1,,ak),μjN(μ0,σ02),σj2IG(ν02,δ02).
k <- 3

mu0 <- 20
va0 <- 100

nu0 <- 6
de0 <- 40

a <- rep(1, k)

Nach dem Bayes-Theorem lauten die vollständigen Bedingungen in der mit

wμ,σ2,z,xDir(a1+n1,,ak+nk)μjw,σ2,z,xN(njmjσ02+μ0σj2njσ02+σj2,σ02σj2njσ02+σj2)σj2w,μ,z,xIG(ν0+nj2,δ0+δj2)Pr(zi=jw,μ,σ2,x)wj×1σje(xiμj)2/2σj2
nj=|Lj|,mj={1njiLjxiifnj>00otherwise.,δj=iLj(xiμj)2,
Lj={i{1,,n}:zi=j} .

Ziel ist es, eine Schätzung für die marginale Wahrscheinlichkeit des Modells zu berechnen. Chibs Methode beginnt mit einem ersten Durchlauf des Gibbs-Samplers unter Verwendung der vollständigen Bedingungen.

burn_in <- 1000
run     <- 15000

cat("First Gibbs run (full):\n")

N <- burn_in + run

w  <- matrix(1, nrow = N, ncol = k)
mu <- matrix(0, nrow = N, ncol = k)
va <- matrix(1, nrow = N, ncol = k)
z  <- matrix(1, nrow = N, ncol = nn)

n <- integer(k)
m <- numeric(k)
de <- numeric(k)

rdirichlet <- function(a) { y <- rgamma(length(a), a, 1); y / sum(y) }

pb <- txtProgressBar(min = 2, max = N, style = 3)
z[1,] <- sample.int(k, size = nn, replace = TRUE)
for (t in 2:N) {
    n <- tabulate(z[t-1,], nbins = k)
    w[t,] <- rdirichlet(a + n)
    m <- sapply(1:k, function(j) sum(x[z[t-1,]==j]))
    m[n > 0] <- m[n > 0] / n[n > 0]
    mu[t,] <- rnorm(k, mean = (n*m*va0+mu0*va[t-1,])/(n*va0+va[t-1,]), sd = sqrt(va0*va[t-1,]/(n*va0+va[t-1,])))
    de <- sapply(1:k, function(j) sum((x[z[t-1,]==j] - mu[t,j])^2))
    va[t,] <- 1 / rgamma(k, shape = (nu0+n)/2, rate = (de0+de)/2)
    z[t,] <- sapply(1:nn, function(i) sample.int(k, size = 1, prob = exp(log(w[t,]) + dnorm(x[i], mean = mu[t,], sd = sqrt(va[t,]), log = TRUE))))
    setTxtProgressBar(pb, t)
}
close(pb)

Aus diesem ersten Lauf erhalten wir einen ungefähren Punkt der maximalen Wahrscheinlichkeit. Da die Wahrscheinlichkeit tatsächlich unbegrenzt ist, ergibt dieses Verfahren wahrscheinlich eine ungefähre lokale MAP.(w,μ,σ2)

w  <- w[(burn_in+1):N,]
mu <- mu[(burn_in+1):N,]
va <- va[(burn_in+1):N,]
z  <- z[(burn_in+1):N,]
N  <- N - burn_in

log_L <- function(x, w, mu, va) sum(log(sapply(1:nn, function(i) sum(exp(log(w) + dnorm(x[i], mean = mu, sd = sqrt(va), log = TRUE))))))

ts <- which.max(sapply(1:N, function(t) log_L(x, w[t,], mu[t,], va[t,])))

ws <- w[ts,]
mus <- mu[ts,]
vas <- va[ts,]

Chibs Log-Schätzung der Grenzwahrscheinlichkeit lautet

Logf(x)^=LogLx(w,μ,σ2)+Logπ(w,μ,σ2)-Logπ(μx)-Logπ(σ2μ,x)-Logπ(wμ,σ2,x).

Wir haben bereits die ersten beiden Semester.

log_prior <- function(w, mu, va) {
    lgamma(sum(a)) - sum(lgamma(a)) + sum((a-1)*log(w))
    + sum(dnorm(mu, mean = mu0, sd = sqrt(va0), log = TRUE))
    + sum((nu0/2)*log(de0/2) - lgamma(nu0/2) - (nu0/2+1)*log(va) - de0/(2*va))
}

chib <- log_L(x, ws, mus, vas) + log_prior(ws, mus, vas)

Die Rao-Blackwell-Schätzung von ist und wird leicht erhalten vom ersten Gibbslauf.π(μx)

π(μx)=j=1kN(μj|njmjσ02+μ0σj2njσ02+σj2,σ02σj2njσ02+σj2)p(σ2,zx)dσ2dz,
pi.mu_va.z.x <- function(mu, va, z) {
    n <- tabulate(z, nbins = k)
    m <- sapply(1:k, function(j) sum(x[z==j]))
    m[n > 0] <- m[n > 0] / n[n > 0]
    exp(sum(dnorm(mu, mean = (n*m*va0+mu0*va)/(n*va0+va), sd = sqrt(va0*va/(n*va0+va)), log = TRUE)))
}

chib <- chib - log(mean(sapply(1:N, function(t) pi.mu_va.z.x(mus, va[t,], z[t,]))))

Die Rao-Blackwell-Schätzung von ist und wird aus einem zweiten reduzierten Gibbs-Lauf berechnet, in dem die nicht aktualisiert, sondern erstellt werden bei jedem Iterationsschritt gleich .π(σ2μ,x)

π(σ2μ,x)=j=1kichG(σj2|ν0+nj2,δ0+δj2)p(zμ,x)dz,
μjμj
cat("Second Gibbs run (reduced):\n")

N <- burn_in + run

w  <- matrix(1, nrow = N, ncol = k)
va <- matrix(1, nrow = N, ncol = k)
z  <- matrix(1, nrow = N, ncol = nn) 

pb <- txtProgressBar(min = 2, max = N, style = 3)
z[1,] <- sample.int(k, size = nn, replace = TRUE)
for (t in 2:N) {
    n <- tabulate(z[t-1,], nbins = k)
    w[t,] <- rdirichlet(a + n)
    de <- sapply(1:k, function(j) sum((x[z[t-1,]==j] - mus[j])^2))
    va[t,] <- 1 / rgamma(k, shape = (nu0+n)/2, rate = (de0+de)/2)
    z[t,] <- sapply(1:nn, function(i) sample.int(k, size = 1, prob = exp(log(w[t,]) + dnorm(x[i], mean = mus, sd = sqrt(va[t,]), log = TRUE))))
    setTxtProgressBar(pb, t)
}
close(pb)

w  <- w[(burn_in+1):N,]
va <- va[(burn_in+1):N,]
z  <- z[(burn_in+1):N,]
N  <- N - burn_in

pi.va_mu.z.x <- function(va, mu, z) {
    n <- tabulate(z, nbins = k)         
    de <- sapply(1:k, function(j) sum((x[z==j] - mu[j])^2))
    exp(sum(((nu0+n)/2)*log((de0+de)/2) - lgamma((nu0+n)/2) - ((nu0+n)/2+1)*log(va) - (de0+de)/(2*va)))
}

chib <- chib - log(mean(sapply(1:N, function(t) pi.va_mu.z.x(vas, mus, z[t,]))))

In gleicher Weise wird die Rao-Blackwellized Schätzung von ist und wird aus einem dritten reduzierten Gibbs-Lauf berechnet, in dem die 's und die ' s nicht aktualisiert werden, sondern gleich und bei jedem Iterationsschritt.π(wμ,σ2,x)

π(wμ,σ2,x)=Dichr(wein1+n1,,eink+nk)p(zμ,σ2,x)dz,
μjσj2μjσj2
cat("Third Gibbs run (reduced):\n")

N <- burn_in + run

w  <- matrix(1, nrow = N, ncol = k)
z  <- matrix(1, nrow = N, ncol = nn) 

pb <- txtProgressBar(min = 2, max = N, style = 3)
z[1,] <- sample.int(k, size = nn, replace = TRUE)
for (t in 2:N) {
    n <- tabulate(z[t-1,], nbins = k)
    w[t,] <- rdirichlet(a + n)
    z[t,] <- sapply(1:nn, function(i) sample.int(k, size = 1, prob = exp(log(w[t,]) + dnorm(x[i], mean = mus, sd = sqrt(vas), log = TRUE))))
    setTxtProgressBar(pb, t)
}
close(pb)

w  <- w[(burn_in+1):N,]
z  <- z[(burn_in+1):N,]
N  <- N - burn_in

pi.w_z.x <- function(w, z) {
    n <- tabulate(z, nbins = k)
    exp(lgamma(sum(a+n)) - sum(lgamma(a+n)) + sum((a+n-1)*log(w)))
}

chib <- chib - log(mean(sapply(1:N, function(t) pi.w_z.x(ws, z[t,]))))

Nach alledem erhalten wir eine logarithmische Schätzung die größer ist als die von Chib gemeldete: mit Monte-Carlo-Fehler .-217,9199-224,138.086

Um zu überprüfen, ob ich die Gibbs-Sampler irgendwie durcheinander gebracht habe, habe ich das Ganze mit RJAGS neu implementiert. Der folgende Code gibt die gleichen Ergebnisse.

x <- c( 9.172,  9.350,  9.483,  9.558,  9.775, 10.227, 10.406, 16.084, 16.170, 18.419, 18.552, 18.600, 18.927, 19.052, 19.070, 19.330,
       19.343, 19.349, 19.440, 19.473, 19.529, 19.541, 19.547, 19.663, 19.846, 19.856, 19.863, 19.914, 19.918, 19.973, 19.989, 20.166,
       20.175, 20.179, 20.196, 20.215, 20.221, 20.415, 20.629, 20.795, 20.821, 20.846, 20.875, 20.986, 21.137, 21.492, 21.701, 21.814,
       21.921, 21.960, 22.185, 22.209, 22.242, 22.249, 22.314, 22.374, 22.495, 22.746, 22.747, 22.888, 22.914, 23.206, 23.241, 23.263,
       23.484, 23.538, 23.542, 23.666, 23.706, 23.711, 24.129, 24.285, 24.289, 24.366, 24.717, 24.990, 25.633, 26.960, 26.995, 32.065,
       32.789, 34.279 )

library(rjags)

nn <- length(x)

k <- 3

mu0 <- 20
va0 <- 100

nu0 <- 6
de0 <- 40

a <- rep(1, k)

burn_in <- 10^3

N <- 10^4

full <- "
    model {
        for (i in 1:n) {
            x[i] ~ dnorm(mu[z[i]], tau[z[i]])
            z[i] ~ dcat(w[])
        }
        for (i in 1:k) {
            mu[i] ~ dnorm(mu0, 1/va0)
            tau[i] ~ dgamma(nu0/2, de0/2)
            va[i] <- 1/tau[i]
        }
        w ~ ddirich(a)
    }
"
data <- list(x = x, n = nn, k = k, mu0 = mu0, va0 = va0, nu0 = nu0, de0 = de0, a = a)
model <- jags.model(textConnection(full), data = data, n.chains = 1, n.adapt = 100)
update(model, n.iter = burn_in)
samples <- jags.samples(model, c("mu", "va", "w", "z"), n.iter = N)

mu <- matrix(samples$mu, nrow = N, byrow = TRUE)
    va <- matrix(samples$va, nrow = N, byrow = TRUE)
w <- matrix(samples$w, nrow = N, byrow = TRUE)
    z <- matrix(samples$z, nrow = N, byrow = TRUE)

log_L <- function(x, w, mu, va) sum(log(sapply(1:nn, function(i) sum(exp(log(w) + dnorm(x[i], mean = mu, sd = sqrt(va), log = TRUE))))))

ts <- which.max(sapply(1:N, function(t) log_L(x, w[t,], mu[t,], va[t,])))

ws <- w[ts,]
mus <- mu[ts,]
vas <- va[ts,]

log_prior <- function(w, mu, va) {
    lgamma(sum(a)) - sum(lgamma(a)) + sum((a-1)*log(w))
    + sum(dnorm(mu, mean = mu0, sd = sqrt(va0), log = TRUE))
    + sum((nu0/2)*log(de0/2) - lgamma(nu0/2) - (nu0/2+1)*log(va) - de0/(2*va))
}

chib <- log_L(x, ws, mus, vas) + log_prior(ws, mus, vas)

cat("log-likelihood + log-prior =", chib, "\n")

pi.mu_va.z.x <- function(mu, va, z, x) {
    n <- sapply(1:k, function(j) sum(z==j))
    m <- sapply(1:k, function(j) sum(x[z==j]))
    m[n > 0] <- m[n > 0] / n[n > 0]
    exp(sum(dnorm(mu, mean = (n*m*va0+mu0*va)/(n*va0+va), sd = sqrt(va0*va/(n*va0+va)), log = TRUE)))
}

chib <- chib - log(mean(sapply(1:N, function(t) pi.mu_va.z.x(mus, va[t,], z[t,], x))))

cat("log-likelihood + log-prior - log-pi.mu_ =", chib, "\n")

fixed.mu <- "
    model {
        for (i in 1:n) {
            x[i] ~ dnorm(mus[z[i]], tau[z[i]])
            z[i] ~ dcat(w[])
        }
        for (i in 1:k) {
            tau[i] ~ dgamma(nu0/2, de0/2)
            va[i] <- 1/tau[i]
        }
        w ~ ddirich(a)
    }
"
data <- list(x = x, n = nn, k = k, nu0 = nu0, de0 = de0, a = a, mus = mus)
model <- jags.model(textConnection(fixed.mu), data = data, n.chains = 1, n.adapt = 100)
update(model, n.iter = burn_in)
samples <- jags.samples(model, c("va", "w", "z"), n.iter = N)

va <- matrix(samples$va, nrow = N, byrow = TRUE)
    w <- matrix(samples$w, nrow = N, byrow = TRUE)
z <- matrix(samples$z, nrow = N, byrow = TRUE)

pi.va_mu.z.x <- function(va, mu, z, x) {
    n <- sapply(1:k, function(j) sum(z==j))
    de <- sapply(1:k, function(j) sum((x[z==j] - mu[j])^2))
    exp(sum(((nu0+n)/2)*log((de0+de)/2) - lgamma((nu0+n)/2) - ((nu0+n)/2+1)*log(va) - (de0+de)/(2*va)))
}

chib <- chib - log(mean(sapply(1:N, function(t) pi.va_mu.z.x(vas, mus, z[t,], x))))

cat("log-likelihood + log-prior - log-pi.mu_ - log-pi.va_ =", chib, "\n")

fixed.mu.and.va <- "
    model {
        for (i in 1:n) {
            x[i] ~ dnorm(mus[z[i]], 1/vas[z[i]])
            z[i] ~ dcat(w[])
        }
        w ~ ddirich(a)
    }
"
data <- list(x = x, n = nn, a = a, mus = mus, vas = vas)
model <- jags.model(textConnection(fixed.mu.and.va), data = data, n.chains = 1, n.adapt = 100)
update(model, n.iter = burn_in)
samples <- jags.samples(model, c("w", "z"), n.iter = N)

w <- matrix(samples$w, nrow = N, byrow = TRUE)
    z <- matrix(samples$z, nrow = N, byrow = TRUE)

pi.w_z.x <- function(w, z, x) {
    n <- sapply(1:k, function(j) sum(z==j))
    exp(lgamma(sum(a)+nn) - sum(lgamma(a+n)) + sum((a+n-1)*log(w)))
}

chib <- chib - log(mean(sapply(1:N, function(t) pi.w_z.x(ws, z[t,], x))))

cat("log-likelihood + log-prior - log-pi.mu_ - log-pi.va_ - log-pi.w_ =", chib, "\n")

Meine Frage ist, ob es in der obigen Beschreibung irgendwelche Missverständnisse der Methode von Chib oder irgendwelche Fehler in ihrer Implementierung gibt.

Zen
quelle
1
Wenn die Simulation 100 Mal ausgeführt wird, liegen die Ergebnisse im Bereich von . [-218.7655;-216.8824]
Zen

Antworten:

6

Im vorherigen Abschnitt ist ein kleiner Programmierfehler aufgetreten

log_prior <- function(w, mu, va) {
    lgamma(sum(a)) - sum(lgamma(a)) + sum((a-1)*log(w))
    + sum(dnorm(mu, mean = mu0, sd = sqrt(va0), log = TRUE))
    + sum((nu0/2)*log(de0/2) - lgamma(nu0/2) - (nu0/2+1)*log(va) - de0/(2*va))
}

wie es stattdessen sein sollte

log_prior <- function(w, mu, va) {
    lgamma(sum(a)) - sum(lgamma(a)) + sum((a-1)*log(w)) +
      sum(dnorm(mu, mean = mu0, sd = sqrt(va0), log = TRUE)) +
      sum((nu0/2)*log(de0/2) - lgamma(nu0/2) - (nu0/2+1)*log(va) - de0/(2*va))
}

Das erneute Ausführen des Codes auf diese Weise führt zu

> chib
[1] -228.194

Das ist nicht der Wert, der in Chib (1995) für diesen Fall erzeugt wurde! In Neals (1999) Reanalyse des Problems erwähnt er dies jedoch

Einem anonymen JASA-Schiedsrichter zufolge ist die Zahl -224.138 für das Protokoll der Grenzwahrscheinlichkeit für das Dreikomponentenmodell mit ungleichen Abweichungen, die in Chibs Papier angegeben wurde, ein "Tippfehler" mit der korrekten Zahl -228.608.

Dies löst also das Diskrepanzproblem.

Xi'an
quelle
2
Prof. Christian Robert und Kate Lee: Wissen Sie, wie gut Sie sind?
Zen
2
Dies ist übrigens definitiv ein Beispiel für "böse Syntax". Ich werde diesen nicht vergessen.
Zen