ML-Schätzung der Exponentialverteilung (mit zensierten Daten)

In der Überlebensanalyse nehmen Sie an, dass die Überlebenszeit eines rv exponentiell verteilt ist. Wenn man bedenkt, dass ich jetzt "Ergebnisse" von iid rvs . Nur ein Teil dieser Ergebnisse ist tatsächlich "vollständig verwirklicht", dh die verbleibenden Beobachtungen sind noch "lebendig".x 1 , … , x n X $X_i$$x_1,\dots,x_n$$X_i$

Wenn ich eine ML-Schätzung für den Ratenparameter der Verteilung durchführen wollte, wie kann ich die nicht realisierten Beobachtungen auf kohärente / angemessene Weise nutzen? Ich glaube, sie enthalten noch nützliche Informationen für die Schätzung.$\lambda$

Könnte mich jemand zur Literatur zu diesem Thema führen? Ich bin sicher, dass es existiert. Ich habe jedoch Probleme, gute Keywords / Suchbegriffe für das Thema zu finden.

Sie können die Parameter weiterhin schätzen, indem Sie die Wahrscheinlichkeit direkt verwenden. Die Beobachtungen seien mit der Exponentialverteilung mit der Rate λ > 0 und unbekannt. Die Dichtefunktion f ( x ; λ ) = λ e - λ x , kumulative Verteilungsfunktion F ( x ; λ ) = 1 - e - λ x und tail Funktion G ( x ; $x_1, \dots, x_n$$\lambda>0$$f(x;\lambda)= \lambda e^{-\lambda x}$$F(x;\lambda)=1-e^{-\lambda x}$ . Angenommen, die ersten r Beobachtungen sind vollständig beobachtet, währendwirfür x r + 1 , … , x n nur wissen, dass x j > t j für einige bekannte positive Konstanten t j ist . Wie immer ist die Wahrscheinlichkeit die "Wahrscheinlichkeit der beobachteten Daten" für die zensierten Beobachtungen, die durch P ( X j > t $G(x;\lambda)=1-F(x;\lambda) = e^{-\lambda x}$$r$$x_{r+1}, \dots, x_n$$x_j > t_j$$t_j$ , also ist die volle Wahrscheinlichkeitsfunktion L ( λ ) = r ∏ i = 1 f ( x i ; λ ) ⋅ n ∏ i = r + 1 G ( t j ; λ ) Die Loglikelihood Funktion wird dann l ( λ ) = r log λ - λ ( $P(X_j > t_j) = G(t_j;\lambda)$

$$L(\lambda) = \prod_{i=1}^r f(x_i;\lambda) \cdot \prod_{i=r+1}^n G(t_j;\lambda)$$ die die gleiche Form wie die Log-Wahrscheinlichkeit für den üblichen, vollständig beobachteten Fall hat, mit Ausnahme des ersten Terms r log λ anstelle von n log λ . Schreiben von T für den Mittelwert von Beobachtungen und Zensieren Zeiten, der MaximumLikelihoodSchätzer von λ wird λ = $$l(\lambda) = r\log\lambda -\lambda(x_1+\dots+x_r+t_{r+1}+\dots+ t_n)$$ $r\log\lambda$$n\log\lambda$$T$$\lambda$ , das Sie selbst mit dem vollständig beobachteten Fall vergleichen können.$\hat{\lambda}=\frac{r}{nT}$

 EDIT   

$r=0$

$$l(\lambda) = -nT \lambda$$ $\lambda$$\lambda=0$$\lambda$$\lambda$

Aber in jedem Fall ist die wirkliche Schlussfolgerung aus den Daten in diesem Fall, dass wir mehr Zeit warten sollten, bis wir einige Ereignisse erhalten ...

$\lambda$$e^{-\lambda n T}$$p^n$$p$$[\underset{\bar{}}{p}, 1]$$\lambda$$\log p = -\lambda T$

$p$

$$P(X=n) = p^n \ge 0.95 ~~~~\text{(say)}$$ $n\log p \ge \log 0.95$$\lambda$ $$\lambda \le \frac{-\log 0.95}{n T}.$$