pdf eines Produkts zweier unabhängiger einheitlicher Zufallsvariablen

Sei $X$ ~ $U(0,2)$ und $Y$ ~ $U(-10,10)$ zwei unabhängige Zufallsvariablen mit den gegebenen Verteilungen. Wie ist die Verteilung von $V=XY$ ?

Ich habe versucht, mich zu falten, weil ich das wusste

$$h(v) = \int_{y=-\infty}^{y=+\infty}\frac{1}{y}f_Y(y) f_X\left (\frac{v}{y} \right ) dy$$

Wir wissen auch, dass $f_Y(y) = \frac{1}{20}$ ,

$$h(v)= \frac{1}{20} \int_{y=-10}^{y=10} \frac{1}{y}\cdot \frac{1}{2}dy$$ $$h(v)=\frac{1}{40}\int_{y=-10}^{y=10} \frac{1}{y}dy$$

Etwas sagt mir, dass hier etwas Seltsames ist, da es bei 0 diskontinuierlich ist. Bitte helfen Sie.

Eine feine, strenge, elegante Antwort wurde bereits veröffentlicht. Der Zweck dieses Artikels ist es, dasselbe Ergebnis auf eine Weise abzuleiten, die die zugrunde liegende Struktur von etwas aufschlussreicher macht . Es zeigt, warum die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (pdf) bei 0 singulär sein muss .$XY$$0$

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Viel kann erreicht werden, indem man sich auf die Formen der Komponentenverteilungen konzentriert :

• ist zweimal ein U ( 0 , 1 $X$$U(0,1)$ Zufallsvariable. ist eine Standardform, die für alle Gleichverteilungen charakteristisch ist.$U(0,1)$

• $|Y|$ist zehnmal eine Zufallsvariable.$U(0,1)$

• Das Vorzeichen von folgt einer Rademacher-Verteilung: Es ist gleich - $Y$$-1$ oder , jedes mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 / 2 .$1$$1/2$

(Dieser letzte Schritt konvertiert eine nicht negative Variable in eine symmetrische Verteilung um , deren beide Schwänze wie die ursprüngliche Verteilung aussehen.)$0$

Daher ist (a) um 0 symmetrisch und (b) sein absoluter Wert ist 2 × 10 = $XY$$0$$2\times 10=20$ fache des Produkts zweier unabhängiger -Zufallsvariablen.$U(0,1)$

Produkte werden häufig durch Logarithmen vereinfacht. In der Tat ist bekannt, dass das negative Protokoll einer -Variablen eine Exponentialverteilung aufweist (da dies der einfachste Weg ist, zufällige Exponentialvariablen zu erzeugen), woraus das negative Protokoll des Produkts von zwei von ihnen besteht die Verteilung der Summe zweier Exponentiale. Das Exponential ist eine Γ ( 1 , 1 ) -Verteilung. Gammaverteilungen mit demselben Skalierungsparameter sind einfach hinzuzufügen: Sie fügen einfach ihre Formparameter hinzu. A Γ ( 1 , 1 ) plus a Γ ( $U(0,1)$$\Gamma(1,1)$$\Gamma(1,1)$ variate hat daher a$\Gamma(1,1)$ -Verteilung. Folglich$\Gamma(2,1)$

Die Zufallsvariable ist die symmetrisierte Version des 20- fachen Exponentials des Negativs einer Γ ( 2 , 1 ) -Variablen.$XY$$20$$\Gamma(2,1)$

Die Konstruktion des PDF von aus der einer U ( 0 , 1 ) -Verteilung wird von links nach rechts gezeigt, wobei von der Uniform über die Exponentialverteilung bis zur Γ ( 2 , 1 ) $XY$$U(0,1)$$\Gamma(2,1)$ zum Exponential des Negativs übergegangen wird , auf die gleiche Sache, skaliert um , und schließlich die symmetrisierte Version davon. Das PDF ist bei 0 unendlich , was die Diskontinuität dort bestätigt.$20$$0$

Wir könnten zufrieden sein, hier aufzuhören. Diese Charakterisierung gibt uns beispielsweise die Möglichkeit, Realisierungen von direkt zu generieren , wie in diesem Ausdruck:$XY$R

n <- 1; 20 * exp(-rgamma(n, 2, scale=1)) * ifelse(runif(n) < 1/2, -1, 1)

Diese Analyse zeigt auch, warum das PDF bei explodiert . $0$ Diese Singularität trat zum ersten Mal auf, als wir die Exponentialverteilung (das Negativ von) einer -Verteilung betrachteten, die der Multiplikation einer U ( 0 , 1 ) -Variate mit einer anderen entspricht. Werte innerhalb von (sagen wir) ε von $\Gamma(2,1)$$U(0,1)$$\varepsilon$$0$ treten auf viele Arten auf, einschließlich (aber nicht beschränkt auf), wenn (a) einer der Faktoren kleiner als oder (b) beide Faktoren kleiner als $\varepsilon$ . Diese Quadratwurzel ist enorm größer alsεselbst, wennεnahe bei0 liegt. Dies erzwingt eine große Wahrscheinlichkeit in einer Menge größer als$\sqrt{\varepsilon}$$\varepsilon$$\varepsilon$$0$ , um in ein Intervall der Längeεgedrückt zu werden. Damit dies möglich ist, muss die Dichte des Produkts bei0beliebig groß werden. Die nachfolgenden Manipulationen - Skalierung um den Faktor20und Symmetrisierung - werden diese Singularität offensichtlich nicht beseitigen.$\sqrt{\varepsilon}$$\varepsilon$$0$$20$

Diese beschreibende Charakterisierung der Antwort führt auch direkt zu Formeln mit einem Minimum an Aufwand, was zeigt, dass sie vollständig und streng ist. Um beispielsweise das PDF von , beginnen Sie mit dem Wahrscheinlichkeitselement einer Γ ( 2 , 1 ) -Verteilung.$XY$$\Gamma(2,1)$

$$f(t)dt = te^{-t}dt,\ 0 \lt t \lt \infty.$$

Wenn bedeutet dies d t = - d ( log ( z ) ) = - d z / z und 0 < z < 1 . Diese Transformation kehrt auch die Reihenfolge um: Größere Werte von t führen zu kleineren Werten von z . Aus diesem Grund müssen wir das Ergebnis nach der Substitution negieren und geben$t=-\log(z)$$dt = -d(\log(z)) = -dz/z$$0 \lt z \lt 1$$t$$z$

$$f(t)dt = -\left(-\log(z) e^{-(-\log(z))} (-dz/z)\right) = -\log(z) dz,\ 0 \lt z \lt 1.$$

Der Skalierungsfaktor wandelt dies in um$20$

$$-\log(z/20) d(z/20) = -\frac{1}{20}\log(z/20)dz,\ 0 \lt z \lt 20.$$

Finally, the symmetrization replaces $z$ by $|z|$, allows its values to range now from $-20$ to $20$, and divides the pdf by $2$ to spread the total probability equally across the intervals $(-20,0)$ and $(0,20)$:

$$\eqalign{ f_{XY}(z)dz &= -\frac{1}{2}\frac{1}{20} \log(|z|/20),\ -20 \lt z\lt 20;\\ f_{XY}(z)dz &= 0\ \text{otherwise}. }$$

In your derivation, you do not use the density of $X$. Since $X\sim\mathcal{U}(0,2)$,

$$f_X(x) = \frac{1}{2}\mathbb{I}_{(0,2)}(x)$$ so in your convolution formula $$h(v)= \frac{1}{20} \int_{-10}^{10} \frac{1}{|y|}\cdot \frac{1}{2}\mathbb{I}_{(0,2)}(v/y)\text{d}y$$ (I also corrected the Jacobian by adding the absolute value). Hence, $$\begin{align*} h(v) &= \frac{1}{40} \int_{-10}^{0} \frac{1}{|y|} \mathbb{I}_{0\le v/y\le 2}\text{d}y+\frac{1}{40} \int_{0}^{10} \frac{1}{|y|}\mathbb{I}_{0\le v/y\le 2}\text{d}y\\ &= \frac{1}{40} \int_{-10}^{0} \frac{1}{|y|} \mathbb{I}_{0\ge v/2\ge y\ge -10}\text{d}y+\frac{1}{40} \int_{0}^{10} \frac{1}{|y|}\mathbb{I}_{0\le v/2\le y\le 10}\text{d}y\\&= \frac{1}{40} \mathbb{I}_{-20\le v\le 0} \int_{-10}^{v/2} \frac{1}{|y|}\text{d}y+\frac{1}{40} \mathbb{I}_{20\ge v\ge 0} \int_{v/2}^{10} \frac{1}{|y|}\text{d}y\\ &= \frac{1}{40} \mathbb{I}_{-20\le v\le 0} \log\{20/|v|\}+\frac{1}{40} \mathbb{I}_{0\le v\le 20} \log\{20/|v|\}\\ &=\frac{\log\{20/|v|\}}{40}\mathbb{I}_{-20\le v\le 20} \end{align*}$$ Here is a confirmation by simulation of the result:

obtained as

   hist(runif(10^6,0,2)*runif(10^6,10,10),prob=TRUE,
   nclass=789,border=FALSE,col="wheat",xlab="",main="")
   curve(log(20/abs(x))/40,add=TRUE,col="sienna2",lwd=2,n=10^4)