Bedingte Wahrscheinlichkeit einer stetigen Variablen

Angenommen, die Zufallsvariable $U$ folgt einer stetigen Gleichverteilung mit den Parametern 0 und 10 (dh $U \sim \rm{U}(0,10)$ ).

Nun wollen wir bezeichnen A das Ereignis , dass $U$ = 5 und B den Fall , dass $U$ gleich entweder $5$ oder 6. Nach meinem Verständnis, beide Ereignisse haben null Wahrscheinlichkeit auftreten.

Wenn wir nun überlegen, zu berechnen , können wir das bedingte Gesetz , weil gleich Null ist. Allerdings sagt meine Intuition mir , dass P ( A | B ) = 1 / 2 .$P(A|B)$$P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}$$P(B)$$P(A|B) = 1/2$

"Das Konzept einer bedingten Wahrscheinlichkeit in Bezug auf eine isolierte Hypothese, deren Wahrscheinlichkeit gleich 0 ist, ist unzulässig." A. Kolmogorov

Für kontinuierliche Zufallsvariablen, wie und Y , werden bedingte Verteilungen durch die Eigenschaft definiert, dass sie das ursprüngliche Wahrscheinlichkeitsmaß wiederherstellen, dh für alle messbaren Mengen A ∈ B ( X ) , B ∈ B ( Y ) , P ( X ∈ A , Y ≤ B ) = ≤ B d P Y ( y ) ≤ B d P X | Y ( x $X$$Y$$A\in\mathcal{B}(\mathbf{X})$$B\in\mathcal{B}(\mathbf{Y})$ Dies impliziert, dass die bedingte Dichte für Mengen von Maß Null willkürlich definiert wird, oder mit anderen Worten, dass die bedingte Dichte p X | Y ( x | y ) istfast überalldefiniert. Da die Menge { 5 , 6 } gegen das Lebesgue-Maß null ist, können Sie sowohl p ( 5 ) als auch p ( 6 ) absolut beliebig definieren und damit die Wahrscheinlichkeit P ( U = 5

$$\mathbb{P}(X\in A,Y\in B)=\int_B \text{d}P_Y(y) \int_B \text{d}P_{X|Y}(x|y)$$ $p_{X|Y}(x|y)$$\{5,6\}$$p(5)$$p(6)$ kann einen beliebigen Wert annehmen. $$\mathbb{P}(U=5|U\in\{5,6\})$$

Dies bedeutet nicht, dass Sie eine bedingte Dichte nicht wie im bivariaten Normalfall durch die Verhältnisformel definieren können, sondern lediglich, dass die Dichte für beide beinahe überall definiert ist x und y .

$$f(y|x)=f(x,y)\big/f(x)$$ $x$$y$

"Viele ziemlich vergebliche Auseinandersetzungen haben - zwischen sonst kompetenten Probabilisten - darüber gestritten, welches dieser Ergebnisse 'richtig' ist." ET Jaynes

Die Tatsache, dass das einschränkende Argument (wenn auf Null geht) in der obigen Antwort eine natürliche und intuitive Antwort zu geben scheint, hängt mit Borels Paradoxon zusammen . Die Wahl der Parametrisierung im Limit ist wichtig, wie das folgende Beispiel zeigt, das ich in meinen Grundkursen verwende.$\epsilon$

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Nehmen Sie die bivariate Normal Was ist die bedingte Dichte von X gegeben , dass X = Y ?

$$X,Y\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim}\mathcal{N}(0,1)$$ $X$$X=Y$

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Geht man von der Verbindungsdichte , die "intuitive" Antwort [proportional to] φ ( x ) 2 . Dies kann durch Berücksichtigung der Änderung der Variablen ( x $\varphi(x)\varphi(y)$$\varphi(x)^2$ wobei T = Y - X die Dichte φ

$$(x,t)=(x,y-x) \sim \varphi(x)\varphi(t+x)$$ $T=Y-X$ . Daher istf(x|t)= φ ( x ) φ ( t + x $\varphi(t/\sqrt{2})/\sqrt{2}$ undf(x|t=0)=φ(x)φ(x $$f(x|t)=\dfrac{\varphi(x)\varphi(t+x)}{\varphi(t/\sqrt{2})/\sqrt{2}}$$ Betrachtet man jedoch stattdessen die Änderung der Variablen(x,r)=(x,y/x)∼φ(x)φ(rx)| x| die Randdichte vonR=Y/Xist die Cauchy-Dichteψ(r)=1/π{1+r2}und die bedingte Dichte von $$f(x|t=0)=\dfrac{\varphi(x)\varphi(x)}{\varphi(0/\sqrt{2})/\sqrt{2}}=\varphi(x)^2\sqrt{2}$$ $$(x,r)=(x,y/x) \sim \varphi(x)\varphi(rx)|x|$$ $R=Y/X$$\psi(r)=1/\pi\{1+r^2\}$$X$gegeben ist f ( x | r ) = φ ( x ) φ ( r x ) | x | × π { 1 + r 2 } Daher ist f ( x | r = 1 ) = π φ ( x ) 2 | x | /$R$ $$f(x|r)=\varphi(x)\varphi(rx)|x| \times \pi \{1+r^2\}$$ Und hier liegt das „Paradox“: die Ereignisse R = 1 und T = 0 sind die gleichen wie X = Y , aber sie führen zu unterschiedlichen bedingten Dichten auf X . $$f(x|r=1)= \pi\varphi(x)^2|x|/2\,.$$ $R=1$$T=0$$X=Y$$X$

Hier ist eine kontroverse Antwort:

Xi'an hat Recht, dass Sie keine Bedingungen für Ereignisse mit einer Wahrscheinlichkeit von Null festlegen können. Yair hat jedoch auch Recht, dass Sie, sobald Sie sich für einen einschränkenden Prozess entschieden haben , eine Wahrscheinlichkeit abschätzen können. Das Problem ist, dass es viele einschränkende Prozesse gibt, die zu dem gewünschten Zustand gelangen.

$(1, 11)$$p$$1-p$

Beachten Sie, dass viele Statistiker das Prinzip der Gleichgültigkeit nicht akzeptieren. Ich mag es, weil es meine Intuitionen widerspiegelt. Obwohl ich nicht immer sicher bin, wie ich es anwenden soll, wird es vielleicht in 50 Jahren mehr Mainstream sein?

$A = [5 - \frac{\epsilon}{2} , 5 + \frac{\epsilon}{2}]$ und $B = [5 - \frac{\epsilon}{4} , 5 + \frac{\epsilon}{4}] \cup [6 - \frac{\epsilon}{4} , 6 + \frac{\epsilon}{4}]$. Mach jetzt alles wie vorher und nimm$\epsilon \to 0$.

Lassen Sie mich noch einmal (und noch einmal) betonen, dass die obige Methode für die Intuition verwendet wird. Das Konditionieren auf Ereignisse mit einer Wahrscheinlichkeit von Null wird sehr oft ohne viel Nachdenken durchgeführt. Das beste Beispiel, an das ich denken kann, ist wenn$(X_1, X_2) \sim \mathcal{N}(0, \Sigma)$ist ein bivariater Gaußscher. Man betrachtet oft die Dichte von$X_1$ gegeben $X_2 = 0$Dies ist ein Ereignis von Maß Null. Dies ist theoretisch gut begründet, aber keineswegs trivial. Zu @ Xi'ans Zitat von Kolmogorov - ich kann nur Varadhan zitieren: "Eines unserer Ziele ist es, eine Definition zu finden, die Sinn macht, wann$P(\xi = a) = 0$"(Wahrscheinlichkeitstheorie, Vorlesungsunterlagen von Courant, Seite 74).

Also, ja, Sie können der Konditionierung von Ereignissen des Maßes Null einen Sinn geben.