Gibbs Sampler-Übergangskern

Sei die Zielverteilung auf die absolut kontinuierlich zum dimensionalen Lebesgue-Maß geschrieben wird, dh: $\pi$ $(\mathbb{R}^d,\mathcal{B}(\mathbb{R^d}))$ $d$

$\pi$ eine Dichte zu mit $\pi(x_1,...,x_d)$ $\lambda^d$

λ^{d} (d x_{1}, . . ., d x_{d}) = λ (d x_{1}) \cdot \cdot \cdot λ (d x_{d})

$\lambda^d(dx_1,...,dx_d) = \lambda(dx_1) \cdot \cdot \cdot \lambda (dx_d)$

Nehmen wir an, dass die vollständigen Bedingungen aus bekannt sind. Der Übergangskern des Gibbs-Samplers ist also eindeutig das Produkt der vollständigen Bedingungen von . $\pi_i(x_i|x_{-i})$ $\pi$ $\pi$

Wird der Übergangskern auch absolut kontinuierlich auf das dimensionale Lebesgue-Maß geschrieben? $d$

bayesian conditional-probability markov-process gibbs integral user2016445
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Ich bin so verwirrt über das Kapitel der Konvergenzeigenschaften des Gibbs-Samplers von Casella und Robert. sry für diese Frage ist es ziemlich offensichtlich, aber ich muss sicher sein, weil es für meine Masterarbeit ist

user2016445

Entschuldigung für unser Kapitel, das Sie verwirrt ...!

Xi'an

Sie haben das Glück, dass einer der Autoren Ihre Frage beantwortet.

Glen_b -State Monica

Antworten:

Wenn Sie den Übergang des systematischen Gibbs-Sampler-Kernels aufschreiben, erhalten Sie für jede Produktmenge und daher ist die Dichte von a Wahrscheinlichkeitsmaß, das gegenüber dem Lebesgue-Maß für absolut stetig ist .

P (X^{'} \in A_{1} \times \dots \times A_{d} | X = x) = \int_{A_{1}} π_{1} (x_{1}^{'} | x_{- 1}) {\int_{A_{2}} π_{2} (x_{2}^{'} | x_{1}^{'}, x_{- 1 : 2}) \dots {\int_{A_{d}} π_{d} (x_{1}^{'} | x_{- d}^{'}) λ (d x_{d}^{'})} \dots λ (d x_{2}^{'})} λ (d x_{1}^{'})

$\mathbb{P}(X'\in A_1\times\cdots\times A_d|X=x)=\int_{A_1} \pi_1(x'_1|x_{-1})\Big\{\int_{A_2} \pi_2(x'_2|x'_1,x_{-1:2})\cdots \left\{\int_{A_d} \pi_d(x'_1|x_{-d}')\lambda(\text{d}x_d')\right\} \cdots\lambda(\text{d}x_2')\Big\}\lambda(\text{d}x_1')$

A_{1} \times \dots \times A_{d} \in B (R^{d})

$A_1\times\cdots\times A_d\in\mathcal{B}(\mathbb{R^d})$

K (x, x^{'}) = π_{1} (x_{1}^{'} | x_{- 1}) \times π_{2} (x_{2}^{'} | x_{1}^{'}, x_{- 1 : 2}) \times \dots \times π_{d} (x_{d}^{'} | x_{- d}^{'})

$K(x,x')=\pi_1(x'_1|x_{-1})\times\pi_2(x'_2|x'_1,x_{-1:2})\times\cdots\times\pi_d(x'_d|x_{-d}')$

(R^{d}, B (R^{d}))

$(\mathbb{R}^d,\mathcal{B}(\mathbb{R^d}))$

Xi'an
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das ist echt lustig :). Nochmals vielen Dank. Ich fühle mich sehr wohl in meinem Kapitel über die Konvergenzeigenschaften des Gibbs-Samplers. Ich möchte mich wirklich für das Kapitel der Konvergenzeigenschaften für die Metropolen-Hastings bedanken! Die minimal notwendigen Bedingungen sind brillant und ich schreibe wirklich einen schönen Beweis für die Irreduzibilität der entsprechenden Markov-Kette des MH-Algo auf.

user2016445