Erwartete Anzahl der Würfe bis der erste Kopf kommt

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Angenommen, eine schöne Münze wird wiederholt geworfen, bis zum ersten Mal ein Kopf erhalten wird.

  • Wie viele Würfe werden voraussichtlich benötigt?
  • Was ist die erwartete Anzahl von Schwänzen, die erhalten werden, bevor der erste Kopf erhalten wird?
nicole900
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Dieser Link hat die Antworten auf beide Fragen: en.wikipedia.org/wiki/Geometric_distribution
swmo
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Wenn dies eine Frage zum Selbststudium ist, fügen Sie bitte den Tag hinzu.
Xi'an,

Antworten:

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Dies kann mit der geometrischen Verteilung wie folgt beantwortet werden :

Die Anzahl der Fehler k - 1 vor dem ersten Erfolg (Köpfe) mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit p ("Köpfe") ist gegeben durch:

p(X=k)=(1p)k1p

wobei k die Gesamtzahl der Würfe ist, einschließlich der ersten "Köpfe", die das Experiment beenden.

Und der erwartete Wert von X für ein gegebenes p ist .1/p=2

Die Ableitung des Erwartungswertes finden Sie hier . Die letzten impliziten Schritte sollten wie folgt lauten:

, das in den Ausdruck eingefügt werden soll:ddr11r=1(1r)2

. Mitr=1-pvereinfacht sich zuE(X)=p1px=1x rx=p1p r (ddr11r)=p1p r 1(1r)2r=1p

, begründet seine Verwendung oben.]E(X)=1p

Alternativ könnten wir die negative Binomialverteilung verwenden , die als Anzahl der Fehler vor dem ersten Erfolg interpretiert wird. Die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion wird als p (Anzahl der Ausfälle, n , vor dem Erreichen von r Erfolgswahrscheinlichkeiten, wenn in jedem Bernoulli-Versuch eine bestimmte Erfolgswahrscheinlichkeit, p , gegeben ist) angegeben:

p(n;r,p)=(n+r1r1)pr(1p)n

Die Erwartung für die Anzahl der Versuche n + r ergibt sich aus der allgemeinen Formel:

r(1p)

Bei unseren bekannten Parametern: r = 1 und p = 0,5 ,

E(n+r;1,0.5)=r1p=110.5=2

Daher können wir erwarten, zwei Würfe zu machen, bevor wir den ersten Kopf mit der erwarteten Anzahl von Schwänzen erhalten, die .E(n+r)r=1

Wir können eine Monte-Carlo-Simulation ausführen, um dies zu beweisen:

   set.seed(1)

p <- 1/2

reps <- 10000                         # Total number of simulations.

tosses_to_HEAD <- 0                   # Setting up an empty vector to add output to.

for (i in 1:reps) {
  head <- 0                           # Set the variable 'head' to 0 with every loop.
  counter <- 0                        # Same forlocal variable 'counter'.
  while (head == 0) {
    head <- head + rbinom(1, 1, p)    # Toss a coin and add to 'head'
    counter <- counter + 1            # Add 1 to 'counter'
  }
  tosses_to_HEAD[i] <- counter        # Append number in counter after getting heads.
}

mean(tosses_to_HEAD)
[1] 2.0097
Antoni Parellada
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Für die aktuelle Frage wird die Verteilung als geometrische Verteilung . G(p)
Xi'an,
And the expected value of p 1 / p und wie soll man das beweisen? X for a given p is 1/p
Dilip Sarwate
Es gibt eine nette Ableitung auf math.stackexchange.com/questions/235927/…. Aber ich kann das Ende dieser Ableitung in meine Antwort aufnehmen.
Antoni Parellada
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Modellieren Sie das Spiel, indem Sie ein Ticket aus einer Schachtel ziehen. Es gibt zwei Arten von Tickets. Auf einem steht "Stop, du hast Köpfe geworfen"; Auf der anderen Seite steht "Weiter, du hast Schwänze geworfen." Die erwartete Anzahl zusätzlicher Würfe im ersten Fall ist während die erwartete Anzahl zusätzlicher Würfe im zweiten Fall beispielsweise x ist - wir wissen es noch nicht und müssen es herausfinden.0x

Schreiben Sie diese Erwartungen auf ihre jeweiligen Tickets: Dies sind die Werte der Tickets.

Die drei Dinge, die wir kennen, sind:

  1. Die Chance, ein "Stop" -Ticket (mit dem Wert ) zu ziehen, ist p .0p

  2. Die Chance, ein "Continue" -Ticket (mit dem Wert ) zu ziehen, beträgt 1 - p .x1p

  3. Die Erwartung für diese einzelne Ziehung ist per Definition die Summe der wahrscheinlichkeitsgewichteten Werte für alle Arten von Tickets:

    p×0+(1p)×x=(1p)x.

x

x=1+(1p)x.

xx1


npnhpnnxn/hn/(h+1)n/(pn)x

Dies führt zu einer äußerst effizienten Möglichkeit, die Verteilung von Spiellängen zu simulieren . Hier ist RCode. Es zeichnet "Köpfe" als wahre Werte in einem booleschen Array auf und berechnet die Wirbel zwischen aufeinanderfolgenden wahren Werten.

p <- 1/3                                           # Set the chance of heads
tosses <- runif(1e6) < p                           # Make a million tosses
sim <- diff(c(TRUE, which(tosses)))                # Compute game lengths
hist(sim, xlab="Game length", main="Distribution") # Graph their distribution
mean(sim)                                          # Report the average length

17set.seed(17)x

whuber
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Können Sie mir helfen, zu verstehen, warum das "x" des Zeichenspiels und das "x" in der zweiten Gleichung dasselbe bedeuten? Ich habe keine Ahnung, wie Sie die zweite Gleichung bekommen. Vielen Dank.
Licht
@Light Die zweite Gleichung wird im vorhergehenden Absatz erklärt.
Whuber
♦ Danke für deine Antwort. Ich habe die Definition von x und den Absatz gelesen, den Sie immer wieder gesagt haben, aber ich verstehe immer noch nicht. Lassen Sie mich sagen, mein Verständnis und pls helfen mir zu wissen, wenn ich etw missverstehe. Nach meinem Verständnis ist x die "zusätzliche" erwartete Zahl im Ziehkarten-Spiel, die sich vom ursprünglichen Spiel unterscheidet, da die Erwartung (ich nenne es "E") des Münzspiels den ersten Wurf umfasst. Meiner Meinung nach sollte E "x + 1" sein, aber sie sind nicht dasselbe. In der Gleichung haben Sie x und E zu dem gleichen Element gemacht, das mich verwirrt. Danke.
Licht
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Sei X die Anzahl der Münzwürfe, die erforderlich sind, bis ein Kopf erhalten wird. Wir müssen also E (X) berechnen (dh den erwarteten Wert von X).

Wir können E (X) von jedem unserer ersten Flips abhängig machen. E (X | H) soll die Anzahl der verbleibenden Münzwürfe bezeichnen, vorausgesetzt, ich habe beim ersten Wurf einen Kopf bekommen. In ähnlicher Weise bezeichne E (X | T) die Anzahl der verbleibenden Münzwürfe, vorausgesetzt, ich habe beim ersten Wurf einen Schwanz.

Durch den ersten Schritt Konditionierung haben wir

E(X)=12(1+E(X|H))+12(1+E(X|T))

Nun, als E(X|H) bezeichnet die verbleibenden Flips, nachdem ich den Kopf beim ersten Mal erhalten habe. Sie sind gleich 0, da ich nach dem Erhalten von 1 Kopf nicht mehr flippen muss.

Und, E(X|T)=E(X), da wir keine Fortschritte gemacht haben, um einen Kopf zu bekommen.

So, E(X)=12(1+0)+12(1+E(X))

=> E(X)=2

grijesh agrawal
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