Erwartete Anzahl der Würfe bis der erste Kopf kommt

Angenommen, eine schöne Münze wird wiederholt geworfen, bis zum ersten Mal ein Kopf erhalten wird.

• Wie viele Würfe werden voraussichtlich benötigt?
• Was ist die erwartete Anzahl von Schwänzen, die erhalten werden, bevor der erste Kopf erhalten wird?

Dies kann mit der geometrischen Verteilung wie folgt beantwortet werden :

Die Anzahl der Fehler k - 1 vor dem ersten Erfolg (Köpfe) mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit p ("Köpfe") ist gegeben durch:

wobei k die Gesamtzahl der Würfe ist, einschließlich der ersten "Köpfe", die das Experiment beenden.

Und der erwartete Wert von X für ein gegebenes p ist .$1/p=2$

Die Ableitung des Erwartungswertes finden Sie hier . Die letzten impliziten Schritte sollten wie folgt lauten:

, das in den Ausdruck eingefügt werden soll:$\frac{d}{dr} \frac{1}{1-r} = \frac{1}{(1-r)^2}$

. Mitr=1-pvereinfacht sich zu$E(X) = \frac{p}{1-p} \sum\limits_{x = 1}^{\infty}x\ r^x = \frac{p}{1-p}\ r\ (\frac{d}{dr} \frac{1}{1-r})= \frac{p}{1-p}\ r\ \frac{1}{(1-r)^2}$$r = 1 - p$

, begründet seine Verwendung oben.]$E(X) = \frac{1}{p}$

Alternativ könnten wir die negative Binomialverteilung verwenden , die als Anzahl der Fehler vor dem ersten Erfolg interpretiert wird. Die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion wird als p (Anzahl der Ausfälle, n , vor dem Erreichen von r Erfolgswahrscheinlichkeiten, wenn in jedem Bernoulli-Versuch eine bestimmte Erfolgswahrscheinlichkeit, p , gegeben ist) angegeben:

Die Erwartung für die Anzahl der Versuche n + r ergibt sich aus der allgemeinen Formel:

Bei unseren bekannten Parametern: r = 1 und p = 0,5 ,

Daher können wir erwarten, zwei Würfe zu machen, bevor wir den ersten Kopf mit der erwarteten Anzahl von Schwänzen erhalten, die .$E(n+r) - r = 1$

Wir können eine Monte-Carlo-Simulation ausführen, um dies zu beweisen:

   set.seed(1)

p <- 1/2

reps <- 10000                         # Total number of simulations.

tosses_to_HEAD <- 0                   # Setting up an empty vector to add output to.

for (i in 1:reps) {
  head <- 0                           # Set the variable 'head' to 0 with every loop.
  counter <- 0                        # Same forlocal variable 'counter'.
  while (head == 0) {
    head <- head + rbinom(1, 1, p)    # Toss a coin and add to 'head'
    counter <- counter + 1            # Add 1 to 'counter'
  }
  tosses_to_HEAD[i] <- counter        # Append number in counter after getting heads.
}

mean(tosses_to_HEAD)
[1] 2.0097

Modellieren Sie das Spiel, indem Sie ein Ticket aus einer Schachtel ziehen. Es gibt zwei Arten von Tickets. Auf einem steht "Stop, du hast Köpfe geworfen"; Auf der anderen Seite steht "Weiter, du hast Schwänze geworfen." Die erwartete Anzahl zusätzlicher Würfe im ersten Fall ist während die erwartete Anzahl zusätzlicher Würfe im zweiten Fall beispielsweise x ist - wir wissen es noch nicht und müssen es herausfinden.$0$$x$

Schreiben Sie diese Erwartungen auf ihre jeweiligen Tickets: Dies sind die Werte der Tickets.

Die drei Dinge, die wir kennen, sind:

1. Die Chance, ein "Stop" -Ticket (mit dem Wert ) zu ziehen, ist p .$0$$p$

2. Die Chance, ein "Continue" -Ticket (mit dem Wert ) zu ziehen, beträgt 1 - p .$x$$1-p$

3. Die Erwartung für diese einzelne Ziehung ist per Definition die Summe der wahrscheinlichkeitsgewichteten Werte für alle Arten von Tickets:

   $$p\times 0 + (1-p)\times x = (1-p)x.$$

$x$

$x$$x-1$

$n$$pn$$h$$pn$$n$$x$$n/h$$n/(h+1)$$n/(pn)$$x$

Dies führt zu einer äußerst effizienten Möglichkeit, die Verteilung von Spiellängen zu simulieren . Hier ist RCode. Es zeichnet "Köpfe" als wahre Werte in einem booleschen Array auf und berechnet die Wirbel zwischen aufeinanderfolgenden wahren Werten.

p <- 1/3                                           # Set the chance of heads
tosses <- runif(1e6) < p                           # Make a million tosses
sim <- diff(c(TRUE, which(tosses)))                # Compute game lengths
hist(sim, xlab="Game length", main="Distribution") # Graph their distribution
mean(sim)                                          # Report the average length

$17$set.seed(17)$x$

Sei X die Anzahl der Münzwürfe, die erforderlich sind, bis ein Kopf erhalten wird. Wir müssen also E (X) berechnen (dh den erwarteten Wert von X).

Wir können E (X) von jedem unserer ersten Flips abhängig machen. E (X | H) soll die Anzahl der verbleibenden Münzwürfe bezeichnen, vorausgesetzt, ich habe beim ersten Wurf einen Kopf bekommen. In ähnlicher Weise bezeichne E (X | T) die Anzahl der verbleibenden Münzwürfe, vorausgesetzt, ich habe beim ersten Wurf einen Schwanz.

Durch den ersten Schritt Konditionierung haben wir

$E(X) = \frac{1}{2} * (1 + E(X|H)) + \frac{1}{2} * (1 + E(X|T))$

Nun, als $E(X|H)$ bezeichnet die verbleibenden Flips, nachdem ich den Kopf beim ersten Mal erhalten habe. Sie sind gleich 0, da ich nach dem Erhalten von 1 Kopf nicht mehr flippen muss.

Und, $E(X|T) = E(X)$, da wir keine Fortschritte gemacht haben, um einen Kopf zu bekommen.

So, $E(X) = \frac{1}{2} * (1 + 0) + \frac{1}{2} * (1 + E(X))$

=> $E(X) = 2$