Schätzt der EM-Algorithmus die Parameter im Gaußschen Mischungsmodell konsistent?

Ich studiere das Gaußsche Mischungsmodell und stelle mir diese Frage selbst.

Angenommen, die zugrunde liegenden Daten werden aus einer Mischung der Gaußschen Verteilung erzeugt und jeder von ihnen hat einen mittleren Vektor , wobei und jeder von ihnen die gleiche Ko- hat Varianzmatrix und nehmen an, dass diese eine Diagonalmatrix ist. Angenommen, das Mischungsverhältnis beträgt , dh jeder Cluster hat das gleiche Gewicht.μ $K$ 1 ≤ k ≤ K & Sigma; & Sigma; 1 /$\mu_k\in\mathbb{R}^p$$1\leq k\leq K$$\Sigma$$\Sigma$$1/K$

In diesem idealen Beispiel besteht die einzige Aufgabe darin, die Mittelwertvektoren zu schätzen , wobei und die Kovarianzmatrix .μ k ∈ R p 1 ≤ k ≤ K $K$$\mu_k\in\mathbb{R}^p$$1\leq k\leq K$$\Sigma$

Meine Frage ist: Wenn wir den EM-Algorithmus verwenden, können wir und konsistent schätzen , dh wenn die Stichprobengröße , erreicht der vom EM-Algorithmus erzeugte Schätzer den wahren Wert von und ? Σ $\mu_k$$\Sigma$μ k$n\rightarrow\infty$$\mu_k$$\Sigma$

Wenn der Algorithmus jedes Mal mit zufälligen Werten initialisiert wird, ist die Konvergenz nicht unbedingt konsistent. Eine nicht zufällige Initialisierung führt vermutlich jedes Mal zum gleichen Ergebnis, aber ich glaube nicht, dass dies die "richtigen" Werte von .$\mu_k$

Abgesehen davon wird der Algorithmus durch Festlegen des Mischungsverhältnisses auf und Festlegen von als Diagonale dem Mittelwert-Algorithmus sehr ähnlich . Dies hat auch eine inkonsistente Konvergenz, abhängig von der zufälligen Initialisierung.Σ $1/K$$\Sigma$$k$