Varianz der Cohen-

Cohens $d$ ist eine der häufigsten Methoden, um die Größe eines Effekts zu messen ( siehe Wikipedia ). Es misst einfach den Abstand zwischen zwei Mitteln als gepoolte Standardabweichung. Wie können wir die mathematische Formel der Varianzschätzung von Cohens ableiten $d$?

Dezember 2015 edit: Im Zusammenhang mit dieser Frage steht die Idee , Konfidenzintervalle um berechnen$d$ . Dieser Artikel besagt, dass

$$\sigma_{d}^2 = \dfrac{n_{+}}{n_{\times}} + \dfrac{d^2}{2n_{+}}$$

Dabei ist $n_{+}$ die Summe der beiden Stichprobengrößen und $n_{\times}$ das Produkt der beiden Stichprobengrößen.

Wie leitet sich diese Formel ab?

Beachten Sie, dass der Varianzausdruck in der Frage eine Annäherung ist. Hedges (1981) leitete die große Stichprobenvarianz von und Approximation in einer allgemeinen Umgebung (dh mehrere Experimente / Studien) ab, und meine Antwort geht so ziemlich durch die Ableitungen in der Arbeit.$d$

Zunächst werden die folgenden Annahmen verwendet:

Nehmen wir an, wir haben zwei unabhängige Behandlungsgruppen, (Behandlung) und C (Kontrolle). Lassen Y T i und Y C j die Werte sein / Antworten / was auch immer von Subjekt i in Gruppe T und Subjekt j in Gruppe C ist.$T$$C$$Y_{Ti}$$Y_{Cj}$$i$$T$$j$$C$

Wir gehen davon aus, dass die Reaktionen normal verteilt sind und die Behandlungs- und Kontrollgruppen eine gemeinsame Varianz aufweisen, d. H

$$\begin{align*} Y_{Ti} &\sim N(\mu_T, \sigma^2), \quad i = 1, \dots n_T \\ Y_{Cj} &\sim N(\mu_C, \sigma^2), \quad j = 1, \dots n_C \end{align*}$$

Die Effektgröße, die wir in jeder Studie schätzen möchten, ist . Der Schätzer der verwendeten Effektgröße ist d= ˉ Y T- ˉ Y$\delta = \frac{\mu_T - \mu_C}{\sigma}$ wobeiS2kdie unverzerrte Stichprobenvarianz für die Gruppek ist.

$$\begin{equation*} d = \frac{\bar{Y}_T - \bar{Y}_C}{\sqrt{\frac{(n_T - 1)S_T^2 + (n_C - 1)S_C^2}{n_T + n_C - 2}}} \end{equation*}$$ $S_k^2$$k$

Betrachten wir die Eigenschaften von für große Stichproben . $d$

Beachten Sie zunächst, dass: und (mit meiner Notation locker): ( n T - 1 ) S 2

$$\begin{equation*} \bar{Y}_T - \bar{Y}_C \sim N \Bigg( \mu_T - \mu_C, \,\sigma^2\frac{n_T + n_C}{n_T n_C} \Bigg) \end{equation*}$$ und (nC-1)S 2 $$\begin{equation} \frac{(n_T - 1)S_T^{2}}{\sigma^2(n_T + n_C - 2)} = \frac{1}{n_T + n_C - 2}\frac{(n_T - 1)S_T^{2}}{\sigma^2} \sim \frac{1}{n_T + n_C- 2}\chi_{n_T - 1}^2 \tag{1} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \frac{(n_C - 1)S_C^{2}}{\sigma^2(n_T + n_C - 2)} = \frac{1}{n_T + n_C - 2}\frac{(n_C - 1)S_C^{2}}{\sigma^2} \sim \frac{1}{n_T + n_C- 2}\chi_{n_C - 1}^2 \tag{2} \end{equation}$$

$$\begin{equation*} \frac{1}{\sigma^2}\frac{(n_T - 1)S_T^{2} + (n_C - 1)S_C^{2}}{n_T + n_C - 2} \sim \frac{1}{n_T + n_C - 2}\chi_{n_T + n_C - 2}^2 \end{equation*}$$

Now, some clever algebra:

$$\begin{align*} d &= \frac{\bar{Y}_T - \bar{Y}_C}{\sqrt{\frac{(n_T - 1)S_T^2 + (n_C - 1)S_C^2}{n_T + n_C - 2}}} \\\\ &= \frac{\left(\sigma\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}\right)^{-1}(\bar{Y}_T - \bar{Y}_C)}{\left(\sigma\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}\right)^{-1}\sqrt{\frac{(n_T - 1)S_T^2 + (n_C - 1)S_C^2}{n_T + n_C - 2}}} \\\\ &= \frac{\frac{(\bar{Y}_T - \bar{Y}_C) - (\mu_T - \mu_C)}{\sigma\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}} + \frac{\mu_T - \mu_C}{\sigma\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}}}{\left(\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}\right)^{-1}\sqrt{\frac{(n_T - 1)S_T^2 + (n_C - 1)S_C^2}{\sigma^2(n_T + n_C - 2)}}} \\\\ &= \sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}\left(\frac{\theta + \delta\sqrt{\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}}}{\sqrt{\frac{V}{\nu}}}\right) \end{align*}$$ where $\theta \sim N(0,1)$, $V \sim \chi^2_{\nu}$, and $\nu = n_T+n_C-2$. Thus, $d$ is $\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}$ times a variable which follows a non-central t-distribution with $n_T + n_C - 2$ degrees of freedom and non-centrality parameter of $\delta\sqrt{\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}}$.

Using the moment properties of the non-central $t$ distribution, it follows that:

$$\begin{equation*} \mathrm{Var}(d) = \frac{(n_T + n_C - 2)}{(n_T + n_C - 4)}\frac{(n_T + n_C)}{n_T n_C}(1+ \delta^2\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}) - \frac{\delta^2}{b^2} \tag{3} \end{equation*}$$ where $$\begin{equation*} b = \frac{\Gamma\left(\frac{n_T + n_C - 2}{2}\right)}{\sqrt{\frac{n_T+n_C-2}{2}}\Gamma\left(\frac{n_T+n_C-3}{2}\right)} \approx 1 - \frac{3}{4(n_T+n_C-2)-1} \end{equation*}$$

So Equation (3) provides the exact large sample variance. Note that an unbiased estimator for $\delta$ is $b d$, with variance:

$$\begin{equation*} \mathrm{Var}(bd) = b^2\frac{(n_T + n_C - 2)}{(n_T + n_C - 4)}\frac{(n_T + n_C)}{n_T n_C}(1+ \delta^2\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}) - \delta^2 \end{equation*}$$

For large degrees of freedom (i.e. large $n_T+n_C-2$), the variance of a non-central $t$ variate with $\nu$ degrees of freedom and non-centrality parameter $p$ can be approximated by $1 + \frac{p^2}{2\nu}$ (Johnson, Kotz, Balakrishnan, 1995). Thus, we have:

$$\begin{align*} \mathrm{Var}(d) &\approx \frac{n_T + n_C}{n_T n_C}\left(1 + \frac{\delta^2\left(\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}\right)}{2(n_T+n_C-2)}\right) \\\\ &= \frac{n_T + n_C}{n_T n_C} + \frac{\delta^2}{2(n_T+n_C-2)} \end{align*}$$

Plug in our estimator for $\delta$ and we're done.