Wahrscheinlichkeit eines aufeinanderfolgenden Wertepaares

Lets $X=(x_1, x_2,...x_{20})$ , wo $x_i\sim N(0,1)$ und $x_i, x_j$ unabhängig sind $\forall i\neq j$ .

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine Stichprobe zu erhalten, $X$bei der mindestens zwei aufeinanderfolgende Werte $x_i$ und $x_{i+1}$ vorliegen, so dass $\begin{cases} |x_{i}| & > & 1.5 \\ |x_{i+1}| & > & 1.5 \\ x_i x_{i+1} & < & 0 \end{cases}$ ?

Führen Sie eine Markov-Kette aus.

Ein "Flip" (bei Index ) sei das Ereignis, dass X i - 1 und X i entgegengesetzte Vorzeichen haben und beide eine Größe von 1,5 überschreiten . Wenn wir eine Realisierung von ( X i ) nach Flips durchsuchen, können wir die Symmetrie der Standardnormalverteilung ausnutzen, um den Prozess mit nur vier Zuständen zu beschreiben:$i$$X_{i-1}$$X_{i}$$1.5$$(X_i)$

• Der Start vor wird beobachtet.$X_1$

• Null , wobei .$-1.5 \le X_{i-1} \le 1.5$

• Eins , wo .$|X_{i-1}| \gt 1.5$

• Umgedreht , wobei ein Flip bei auftritt .$i$

Startübergänge in den (gemischten) Zustand

$$\mu = (1-2p, 2p, 0)$$

(entsprechend der Wahrscheinlichkeit, sich in Zuständen ( Null , Eins , Umgedreht ) zu befinden) mit Da Start nie wieder gesehen wird, sollten wir uns nicht die Mühe machen, es weiter zu verfolgen.

$$p = \Pr(X_1 \lt -1.5) = \Pr(X_1 \gt 1.5) \approx 0.0668072.$$

Null geht mit einer Wahrscheinlichkeit von 2 p (wenn | X i | > 1,5 ) in Eins über und bleibt ansonsten bei Null .$2p$$|X_i|\gt 1.5$

Man geht mit der Wahrscheinlichkeit p in Flipped über : Dies tritt auf, wenn und haben das entgegengesetzte Vorzeichen von . Es geht auch mit der Wahrscheinlichkeit zurück zu Eins, wenn und haben das gleiche Vorzeichen wie . Andernfalls geht es auf Null über .$p$X i X i - 1 p | X i | > 1,5 X i X i - $|X_i| \gt 1.5$$X_i$$X_{i-1}$$p$$|X_i| \gt 1.5$$X_i$$X_{i-1}$

Umgedreht ist ein absorbierender Zustand: Dort ändert sich nichts, unabhängig vom Wert von .$X_i$

Somit ist die Übergangsmatrix (ohne Berücksichtigung des transienten Starts ) für ( Null , Eins , Umgedreht ) daher

$$\mathbb{P} = \left( \begin{array}{ccc} 1-2 p & 2 p & 0 \\ 1-2 p & p & p \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)$$

Nach dem Verlassen des Startzustands (und dem Eintritt in den gemischten Zustand ) werden 20 - 1 Übergänge im Scan für einen Flip durchgeführt. Die gewünschte Wahrscheinlichkeit ist daher der dritte Eintrag (entsprechend Flipped ) in μ ⋅ P 20 - 1 ≈ $\mu$$20-1$

$$\mu \cdot \mathbb{P}^{20-1} \approx 0.149045.$$

---

Berechnungsdetails

Wir müssen keine Matrixmultiplikationen durchführen, um P 19 zu erhalten . Stattdessen nach der Diagonalisierung$18$$\mathbb{P}^{19}$

$$\mathbb{P} = \mathbb{Q}^{-1} \mathbb{E} \mathbb{Q},$$

Die Antwort für jeden Exponenten (auch für große Exponenten ) kann über nur eine Matrixmultiplikation als berechnet werden$n$

$$\mu\cdot\mathbb{P}^n = \left(\mu\cdot\mathbb{Q}^{-1}\right) \mathbb{E}^n \mathbb{Q}$$

mit

$$\mu \cdot \mathbb{Q}^{-1} = \left(1,\frac{-4 p^2+p+1-\sqrt{(2-7 p) p+1}}{2 \sqrt{(2-7 p) p+1}},-\frac{-4 p^2+p+1+\sqrt{(2-7 p) p+1}}{2 \sqrt{(2-7 p) p+1}}\right),$$

$$\mathbb{Q} = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ \frac{\left(1+p+\sqrt{-7 p^2+2 p+1}\right) \left(3 p-1+\sqrt{-7 p^2+2 p+1}\right)}{8 p^2} & -\frac{1+p+\sqrt{-7 p^2+2 p+1}}{2 p} & 1 \\ \frac{\left(1+p-\sqrt{-7 p^2+2 p+1}\right) \left(3 p-1-\sqrt{-7 p^2+2 p+1}\right)}{8 p^2} & -\frac{1+p-\sqrt{-7 p^2+2 p+1}}{2 p} & 1 \\ \end{array} \right)$$

und

$$\mathbb{E}^n = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \left(\frac{1}{2} \left(1-p-\sqrt{-7 p^2+2 p+1}\right)\right)^n & 0 \\ 0 & 0 & \left(\frac{1}{2} \left(1-p+\sqrt{-7 p^2+2 p+1}\right)\right)^n \\ \end{array} \right)$$

Eine Million-Iterations-Simulation (unter Verwendung R) unterstützt dieses Ergebnis. Seine Ausgabe,

     Mean       LCL       UCL 
0.1488040 0.1477363 0.1498717

$0.1488$$[0.1477, 0.1499]$$0.149045$

n <- 20                                         # Length of the sequence
n.iter <- 1e6                                   # Length of the simulation
set.seed(17)                                    # Start at a reproducible point
x <- rnorm(n.iter*n)                            # The X_i
y <- matrix(sign(x) * (abs(x) > 3/2), n, n.iter)
flips <- colSums(y[-1, ] * y[-n, ] == -1)       # Flip indicators
x.bar <- mean(flips >= 1)                       # Mean no. of flipped sequences
s <- sqrt(x.bar * (1-x.bar) / n.iter)           # Standard error of the mean
(c(Mean=x.bar, x.bar + c(LCL=-3,UCL=3) * s))    # The results