Wahrscheinlichkeit eines aufeinanderfolgenden Wertepaares

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Lets X=(x1,x2,...x20) , wo xiN(0,1) und xi,xj unabhängig sind ij .

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine Stichprobe zu erhalten, Xbei der mindestens zwei aufeinanderfolgende Werte xi und xi+1 vorliegen, so dass {|xi|>1.5|xi+1|>1.5xixi+1<0 ?

will198
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0 ? |1.5|=1.5 Oder gibt es einen Tippfehler in der Frage? Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Zahlen>1.5 und ihr Produkt<0 ist, ist0 .
Dmitry Rubanovich
mit xi,xi+1>|1.5|Ich meine, dass xi,xi+1>1.5 oder xi,xi+1<1.5 und mit xixi+1<0 meine ich, dass ein Wert> 0 und der andere <0 ist. Zum Beispiel xi=1.8 und xi+1=2 passen beide Bedingungen.
Will198
Die erste Bedingung sollte sein, dass |xi|,|xi+1|<1.5 und die zweite Bedingung ist, dass xixi+1<0
will198
Dann ist es ein Tippfehler. Es sollte sagen . |xi|,|xi+1|>1.5
Dmitry Rubanovich
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Jede Ihrer 20 Variablen hat eine Chance von ungefähr 0,0668, über 1,5 zu sein, und die gleiche Chance, unter -1,5 zu sein. Dies reduziert Ihr Problem auf eine Frage zu diskreten (3-wertigen) Variablen, die mit der Kettenregel gelöst werden könnten. Hierfür muss es möglich sein, eine Funktion mit Ihrem Limit (1.5) und der Anzahl aufeinanderfolgender Variablen (20) als Eingabe zu programmieren. Haben Sie Vorstellungen von R, SAS oder js?
Dirk Horsten

Antworten:

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Führen Sie eine Markov-Kette aus.

Ein "Flip" (bei Index ) sei das Ereignis, dass X i - 1 und X i entgegengesetzte Vorzeichen haben und beide eine Größe von 1,5 überschreiten . Wenn wir eine Realisierung von ( X i ) nach Flips durchsuchen, können wir die Symmetrie der Standardnormalverteilung ausnutzen, um den Prozess mit nur vier Zuständen zu beschreiben:iXi1Xi1.5(Xi)

  • Der Start vor wird beobachtet.X1

  • Null , wobei .1.5Xi11.5

  • Eins , wo .|Xi1|>1.5

  • Umgedreht , wobei ein Flip bei auftritt .i

Startübergänge in den (gemischten) Zustand

μ=(12p,2p,0)

(entsprechend der Wahrscheinlichkeit, sich in Zuständen ( Null , Eins , Umgedreht ) zu befinden) mit Da Start nie wieder gesehen wird, sollten wir uns nicht die Mühe machen, es weiter zu verfolgen.

p=Pr(X1<1.5)=Pr(X1>1.5)0.0668072.

Null geht mit einer Wahrscheinlichkeit von 2 p (wenn | X i | > 1,5 ) in Eins über und bleibt ansonsten bei Null .2p|Xi|>1.5

Man geht mit der Wahrscheinlichkeit p in Flipped über : Dies tritt auf, wenn und haben das entgegengesetzte Vorzeichen von . Es geht auch mit der Wahrscheinlichkeit zurück zu Eins, wenn und haben das gleiche Vorzeichen wie . Andernfalls geht es auf Null über .pX i X i - 1 p | X i | > 1,5 X i X i - 1|Xi|>1.5XiXi1p|Xi|>1.5XiXi1

Umgedreht ist ein absorbierender Zustand: Dort ändert sich nichts, unabhängig vom Wert von .Xi

Somit ist die Übergangsmatrix (ohne Berücksichtigung des transienten Starts ) für ( Null , Eins , Umgedreht ) daher

P=(12p2p012ppp001)

Nach dem Verlassen des Startzustands (und dem Eintritt in den gemischten Zustand ) werden 20 - 1 Übergänge im Scan für einen Flip durchgeführt. Die gewünschte Wahrscheinlichkeit ist daher der dritte Eintrag (entsprechend Flipped ) in μ P 20 - 10,149045.μ201

μP.20- -10,149045.

Berechnungsdetails

Wir müssen keine Matrixmultiplikationen durchführen, um P 19 zu erhalten . Stattdessen nach der Diagonalisierung18P.19

P.=Q.- -1E.Q.,

Die Antwort für jeden Exponenten (auch für große Exponenten ) kann über nur eine Matrixmultiplikation als berechnet werdenn

μP.n=(μQ.- -1)E.nQ.

mit

μQ.- -1=(1,- -4p2+p+1- -(2- -7p)p+12(2- -7p)p+1,- -- -4p2+p+1+(2- -7p)p+12(2- -7p)p+1),

Q.=(001(1+p+- -7p2+2p+1)(3p- -1+- -7p2+2p+1)8p2- -1+p+- -7p2+2p+12p1(1+p- -- -7p2+2p+1)(3p- -1- -- -7p2+2p+1)8p2- -1+p- -- -7p2+2p+12p1)

und

E.n=(1000(12(1- -p- -- -7p2+2p+1))n000(12(1- -p+- -7p2+2p+1))n)

Eine Million-Iterations-Simulation (unter Verwendung R) unterstützt dieses Ergebnis. Seine Ausgabe,

     Mean       LCL       UCL 
0.1488040 0.1477363 0.1498717

0,1488[0,1477,0,1499]]0,149045

n <- 20                                         # Length of the sequence
n.iter <- 1e6                                   # Length of the simulation
set.seed(17)                                    # Start at a reproducible point
x <- rnorm(n.iter*n)                            # The X_i
y <- matrix(sign(x) * (abs(x) > 3/2), n, n.iter)
flips <- colSums(y[-1, ] * y[-n, ] == -1)       # Flip indicators
x.bar <- mean(flips >= 1)                       # Mean no. of flipped sequences
s <- sqrt(x.bar * (1-x.bar) / n.iter)           # Standard error of the mean
(c(Mean=x.bar, x.bar + c(LCL=-3,UCL=3) * s))    # The results
whuber
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Für Neugierige wird die Technik, die Whuber ausnutzte, um die Exponenten der Übergangsmatrix zu erhalten, in Lehrbüchern der elementaren linearen Algebra manchmal als "Diagonalisierung" bezeichnet.
Sycorax sagt Reinstate Monica