Welche intuitive Bedeutung hat eine Zufallsvariable, die als „Gitter“ definiert wird?

In der Wahrscheinlichkeitstheorie wird eine nichtnegative Zufallsvariable als Gitter bezeichnet, wenn es d ≥ 0 gibt, so dass ∑ ∞ n = 0 P ( X = n d ) = 1 ist .$X$$d \geq 0$$\sum_{n=0}^{\infty}P(X=nd) = 1$

Gibt es eine geometrische Interpretation, warum diese Definition als Gitter bezeichnet wird?

Dies bedeutet, dass $X$ diskret ist und es eine Art regelmäßigen Abstand zu seiner Verteilung gibt. Das heißt, die Wahrscheinlichkeitsmasse konzentriert sich auf eine endliche / zählbare Menge von Punkten ${d, 2d, 3d, \dots}$ .

Beachten Sie, dass nicht alle diskreten Verteilungen Gitter sind. Wenn $X$ die Werte annehmen kann $\{1, e, \pi, 5\}$, ist dies kein Gitter, da es kein $d$ , sodass alle Werte als Vielfaches von ausgedrückt werden können $d$.

Diese Terminologie verbindet die Zufallsvariable mit Konzepten der Gruppentheorie , mit denen geometrische Symmetrien untersucht werden. Es könnte Ihnen daher gefallen, den allgemeineren Zusammenhang zu sehen, der die Bedeutung und mögliche Anwendung von Gitterzufallsvariablen beleuchtet.

Hintergrund

In der Mathematik ist ein "Gitter" eine diskrete Untergruppe einer topologischen Gruppe G (für gewöhnlich mit einem endlichen Covolumen angenommen ).$\mathcal{L}$$G$

• "Diskret" bedeutet, dass um jedes Element eine offene Menge O g ⊂ L ist, die nur g selbst enthält: O g ∪ L = { g } . Es wäre fair, sich L als eine "gemusterte" oder "regelmäßige" Anordnung von Punkten in G vorzustellen .$g\in\mathcal{L}$$\mathcal{O}_g\subset\mathcal{L}$$g$$\mathcal{O}_g\cup\mathcal{L}=\{g\}$$\mathcal{L}$$G$

• Die Gruppe wirkt auf L durch "Bewegen von Punkten in L um G ", wobei aus jedem eine Umlaufbahn gebildet wird. Eine grundlegende Domäne dieser Aktion besteht aus einem einzelnen Punkt in jeder Umlaufbahn. G kann mit einem Maß (dem Haar-Maß) ausgestattet werden, mit dem die Größen oder Volumina von Borel-Teilmengen von G gemessen werden . Eine messbare fundamentale Domäne kann gefunden werden. Sein Volumen ist die Kovolumen von L . Wenn es endlich ist, können wir uns vorstellen, dass G durch diese fundamentale Domäne gekachelt wird und die Elemente von L die Kacheln bewegen.$G$$\mathcal{L}$$\mathcal{L}$$G$$G$$G$$\mathcal{L}$$G$$\mathcal{L}$

Jedes Paar dieser Seepferdchenfiguren - wobei eine mit der rechten Seite nach oben und die andere auf dem Kopf steht - kann ein grundlegender Bereich für das sichtbare Gitter in der euklidischen Ebene sein. MC Escher, Seepferdchen (Nr. 11) .

Eine "Gitter" -Zufallsvariable wird auf einem Gitter in ( R n , + ) unterstützt . $X$$(\mathbb{R}^n, {+})$ Dies bedeutet, dass alle seine Wahrscheinlichkeiten in der Schließung des Gitters enthalten sind. Da ein Gitter diskret ist, ist es geschlossen, sodass die Werte von auf dem Gitter fast sicher sind: Pr ( X ∈ L ) = 1 .$X$$\Pr(X\in\mathcal{L})=1$

Anwendung

Die von der Frage implizierte Gruppe ist die additive Gruppe reeller Zahlen mit ihrer üblichen (euklidischen) Topologie. Als Untergruppe, ein Gitter L muss enthalten 0 . Dies allein reicht nicht aus, da der Quotient R / { 0 } ein unendliches Volumen hat ("Volumen" = "Länge" in diesem 1D-Fall). Somit gibt es zumindest eine Nicht - Null - Element g ∈ L . Alle Befugnisse dieses Elements müssen sich auch in der Untergruppe befinden. Da der Betrieb ist zusätzlich die n - te Leistung von g ist n $(\mathbb{R}, {+})$$\mathcal{L}$$0$$\mathbb{R}/\{0\}$$g\in\mathcal{L}$$n^\text{th}$$g$$ng$. Daher enthält alle ganzzahligen Vielfachen von g (einschließlich der negativen).$\mathcal{L}$$g$

Wenn es zwei Elemente gibt, die keine Potenzen voneinander sind, ist es einfach (unter Verwendung eines winzigen Teils der Zahlentheorie) zu zeigen, dass (1) alle Kombinationen n g + m h für n , m ∈ sind Z , stehen in eins-zu-eins-Übereinstimmung mit den geordneten Paaren ( m , n ) und (2). Diese Kombinationen sind in R dicht , was bedeuten würde, dass L nicht diskret ist. Daraus kann man schlussfolgern, dass alle Elemente in L Potenzen einer einzigen Zahl sind$h,g\in\mathcal{L}$$ng+mh$$n,m\in\mathbb{Z}$$(m,n)$$\mathbb{R}$$\mathcal{L}$$\mathcal{L}$ . $g$ Dies ist derGeneratorvon .$\mathcal{L}$

(Ein analoges Argument zeigt, dass Gitter in n Generatoren haben müssen . Generatoren für das Escher-Aquarell könnten beispielsweise eine Übersetzung von zwei Einheiten nach unten und eine Übersetzung von einer Einheit nach unten und einer Einheit nach rechts ungefähr sein. )$(\mathbb{R}^n, {+})$$n$

Folglich entspricht jede reellwertige Gitterzufallsvariable auf ( R , + ) muss ein Generator g ≠ 0 , von wo aus$X$$(\mathbb{R}, {+})$$g\ne 0$

$$\sum_{n=0}^\infty \Pr(X=ng) \le \sum_{n=-\infty}^\infty \Pr(X=ng) = \Pr(X\in\mathcal{L}) = 1.$$

Die Definition in der Frage kann daher als die einer nicht negativen Gittervariablen verstanden werden. Möglicherweise möchten wir auch festlegen, dass , da andernfalls X in der Untergruppe { 0 } unterstützt wird , die bei unendlichem Covolumen kein Gitter ist.$\Pr(X=0) \lt 1$$X$$\{0\}$

Verallgemeinerung

Die positiven reellen Zahlen bilden eine multiplikative Gruppe. Ein Gitter in dieser Gruppe hat die Form L = { g $(\mathbb{R}^{+}, {\times})$ für einige g > 0 . (Das Covolumen dieses Gitters ist | log ( g ) | .) Dementsprechend ist jede Zufallsvariable Y, für die$\mathcal{L} = \{g^n\,|\,n\in\mathbb{Z}\}$$g \gt 0$$|\log(g)|$$Y$

$$\sum_{n=-\infty}^\infty \Pr(Y=g^n) = 1$$

könnte als Gittervariable für diese Gruppe angesehen werden. Offensichtlich wäre eine Gittervariable für ( R , + ) .$\log(Y)$$(\mathbb{R}, {+})$