Angenommen, und sind zwei einheitliche Zufallsvariablen für das IntervallXY[0,1]
Sei , ich finde das cdf von , dh .Z=X/YZPr(Z≤z)
Jetzt habe ich mir zwei Möglichkeiten ausgedacht, dies zu tun. Einer liefert hier eine korrekte Antwort, die mit dem PDF übereinstimmt: http://mathworld.wolfram.com/UniformRatioDistribution.html , der andere nicht. Warum ist die zweite Methode falsch?
Erste Methode
Pr(Z≤z)=Pr(X/Y≤z)=Pr(X≤zY)=∫10∫min(1,zy)0dxdy=∫10min(1,zy) dy
=⎧⎩⎨∫1/z0zy dy+∫11/zdy∫10zy dy:z>1:z≤1
={1−12zz2:z>1:z≤1
Dies scheint korrekt zu sein.
Zweite Methode
Pr(X/Y≤z)=Pr(X≤zY | zY≥1)Pr(zY≥1)+Pr(X≤zY | zY<1)Pr(zY<1) nach Gesamtwahrscheinlichkeit
=Pr(X≤zY | zY≥1)Pr(Y≥1/z)+Pr(X≤zY | zY<1)Pr(Y<1/z)
Wenn man erhält man
z>1(1)(1−1z)+(∫1/z0∫zy0dxdy)(1z)=1−1z+(∫1/z0zy dy)(1z)=1−1z+12z2
Das ist schon anders. Warum ist das falsch?
Vielen Dank!