Ist ein fetter Schwanz gleich wie Schräg

Ich höre diese Begriffe immer wieder und es scheint, dass sich beide auf dasselbe beziehen: eine größere Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis bei den Extremwerten einer Verteilung auftritt, weit weg vom Mittelwert (mehr als 3 Standardabweichungen entfernt)

Die "Schwere" des Schwanzes bezieht sich darauf, wie schnell die Wahrscheinlichkeit abnimmt, wenn Sie sich vom Zentrum der Verteilung entfernen, während sich die Schiefe mit Symmetrie oder deren Fehlen befasst. Zum Beispiel ist die Exponentialverteilung verzerrt, wird aber als ziemlich leicht angesehen, während die Cauchy-Verteilung perfekt symmetrisch, aber schwer schwanzförmig ist.

Wie dsaxtron (+1) hervorhebt , bezieht sich die Schiefe auf Symmetrie oder Asymmetrie. Jede symmetrische Verteilung hat eine Schiefe von Null - egal wie fett ihre Schwänze sind. Dies liegt an der dritten Potenz in ihrer Definition, die es ermöglicht, Abweichungen in beiden Schwänzen auszugleichen.

Somit gibt es keine Beziehung zwischen Schiefe und Schwanzfett.

In diesem Zusammenhang empfehle ich jedoch dringend Westfall (2014), Kurtosis as Peakedness, 1905–2014. RIP in The American Statistician , der das verbreitete Missverständnis (das auch im Wikipedia-Artikel zu finden ist), dass Kurtosis irgendetwas mit "Peakedness" zu tun hat , äußerst gut entlarvt . Stattdessen misst die Kurtosis die Neigung zu Ausreißern, dh die Fettigkeit der Schwänze einer Verteilung. Dies liegt daran, dass die Kurtosis die vierte Potenz der Abweichungen vom Mittelwert verwendet, sodass sich positive und negative Schwänze nicht aufheben.

Entschuldigung, ich bin zu spät zu diesem Thread. In den Kommentaren wurden mehrere Gesichtspunkte zum Ausdruck gebracht, die Verwirrung über Ausreißer und Schwänze zum Ausdruck bringen.

Rex Kerrs Kommentar, dass Kurtosis kein Fettschwanz ist, ist falsch. Sein Gegenbeispiel ohne Ausreißer (und daher, wie er behauptet, ohne fetten Schwanz) ist . Ich werde diese Daten in die empirische Verteilung mit umwandeln und die überschüssige Kurtosis berechnen .$(-1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1)$$x = (-1,0,1)$$p(x) = (1/11, 9/11, 1/11)$$k = 2.5$

Sein Kommentar ist, dass dieses Beispiel "große Kurtosis zeigt, obwohl sie keinen Schwanz hat".

Um dies näher zu beleuchten, vereinfachen wir das Beispiel. Betrachten Sie stattdessen die Bernoulli-Verteilung , . Es gibt noch weniger im Schwanz dieser Verteilung, aber die Kurtosis tendiert gegen unendlich, während gegen tendiert . Stellen Sie sich zum Beispiel vor, dass dies ein Modell für die Annahme ist, dass die Mondlandung mit gefälscht wurde . Ich denke, wir sind uns alle einig, dass die Person, die glaubt, dass die Mondlandung gefälscht war, ein "Ausreißer" ist. Die überschüssige Kurtosis dieser Verteilung bestätigt dies mit .$x = (0,1)$$p(x) = (1-p,p)$$p$$0$$p(x) = (.94, .06)$$k = 11.7$

Der Grad der "Ausreißer" kann durch Punkte charakterisiert werden : Hier hat die Person, die glaubt, die Mondlandung sei gefälscht, Punkte , ein ziemlicher Weg in den Schwanz der Verteilung.$z$$z$$z= (1 - .06)/\sqrt{.06*.94} = 3.95$$z$

Wenn der Glaube an den Scherz seltener wäre (was laut Umfragen anscheinend nicht der Fall ist ), wie z. B. , hätte diese Person einen Wert von , was, wie alle zustimmen würden, ein Ausreißer ist: Wenn diese Daten aus einer Normalverteilung stammen würden, wäre die Wahrscheinlichkeit, eine Beobachtung von Standardabweichungen vom Mittelwert oder mehr zu sehen, so gering, dass sie als unmöglich bezeichnet werden könnte. Auch die überschüssige Kurtosis beträgt jetzt .$0.1\%$$z$$z= (1 - .001)/\sqrt{.001*.999} = 31.61$$31.61$$k = 995$

Trotz der Tatsache, dass die Normalverteilung Schwänze hat, die sich bis ins Unendliche erstrecken, ist die Bernoulli-Verteilung für kleine wohl "schwerer" in dem Sinne, dass sie extreme Beobachtungen erzeugen kann, die weit über das hinausgehen, wozu die Normalverteilung fähig ist.$p$

Kurtosis ist per Definition der erwartete Wert der Werte, die jeweils auf die vierte Potenz angehoben werden. Wenn Sie extreme Punkte (Ausreißer) haben, haben Sie eine hohe Kurtosis.$Z$$z$

Es gibt unendlich viele Maße für die Schwanzextremität. Kurtosis ist ein Maß für die Schwanzextremität, das sich auf die Punkte konzentriert. Durch dieses Maß kann eine Verteilung mit endlicher Unterstützung schwerer sein als eine mit unendlicher Unterstützung.$z$

Diese Definition ist vollkommen logisch und wird durchaus angewendet. Der Grund, warum wir uns für Schwänze interessieren, ist, dass wir uns für Ausreißer interessieren. Die Normalverteilung erzeugt einfach keine Ausreißer 31 Standardabweichungen vom Mittelwert, wie es in der Praxis üblich ist. Die Bernoulli-Verteilung hingegen erzeugt solche Werte recht leicht.

Der Fokus auf Ausreißer wird durchaus angewendet, da statistische Verfahren aller Art von Ausreißern betroffen sind. Nehmen Sie zum Beispiel die Varianzschätzung: Ihre Genauigkeit hängt stark von der Kurtosis ab, da der Wert der Schätzung stark davon abhängt, ob sich Ausreißer in dieser bestimmten Stichprobe befinden oder nicht. Power-of-Mean-Tests werden auch von Ausreißern beeinflusst. Die Interpretation der Kurtosis als Maß für Ausreißer und nicht für Peak oder Center ist also nicht nur richtig, sondern stimmt auch mit statistischen Anwendungen überein.

Zurück zu Rex '"Gegenbeispiel" könnte er extremer werden, indem er , . Die überschüssige Kurtosis beträgt jetzt . Der Grund ist, dass die Antworten und jetzt extreme Ausreißer sind, Standardabweichungen vom Mittelwert. Diese Verteilung ist schwerer als die Normalverteilung in dem Sinne, dass sie gelegentlich Standardabweichungen vom Mittelwert ergibt.$x = (-1,0,1)$$p(x) = (.001, .998, .001)$$k=497$$+1$$-1$$22.4$$22.4$

Auch wenn Rex 'Gegenbeispiel und meine verbesserte Version davon nahe legen, dass eine höhere Kurtosis einer "Peaked" -Verteilung entspricht, gibt es einfache Beispiele, bei denen die Verteilung nicht mit derselben Kurtosis einen Peak erreicht. Nehmen wir zum Beispiel , . Diese Verteilung ist "U" -förmig, nicht spitz und es gibt gelegentlich Ausreißer. Die überschüssige Kurtosis beträgt , ähnlich wie bei meinem erweiterten Gegenbeispiel, und die extremsten Werte sind ebenfalls Standardabweichungen vom Mittelwert.$x = (-1000, -2,-1,0,+1,+2, +1000)$$p(x) = (.001, .25,.20, .098, .20, .25, .001)$$k=496$$22.3$

Zusammenfassend Kurtosis macht den Schwanz (potentielle Ausreißer) der Verteilung messen, weil es der erwartete Wert ist . Wenn Sie einige große Werte haben, dann haben Sie eine große Kurtosis.$Z^4$$Z$

In meinem TAS- Artikel gebe ich drei mathematische Theoreme an (für die es offensichtlich keine Gegenbeispiele geben kann) , um den Zusammenhang zwischen Kurtosis und Schwanz zu unterstützen. Meines Wissens gibt es keine Theoreme, die Kurtosis mit der Form des Peaks oder sogar mit dem Wahrscheinlichkeitsgehalt im Bereich verbinden. Wenn jemand einen solchen Satz hat, würde ich ihn gerne sehen.$\mu \pm \sigma$