Bedeutet Mean = Mode eine symmetrische Verteilung?

Ich weiß, dass diese Frage mit dem Fall mean = median gestellt wurde, aber ich habe nichts im Zusammenhang mit mean = mode gefunden.

Wenn der Modus dem Mittelwert entspricht, kann ich dann immer zu dem Schluss kommen, dass es sich um eine symmetrische Verteilung handelt? Muss ich auf diese Weise auch den Median kennen?

Mittelwert = Modus impliziert keine Symmetrie.

Selbst wenn mean = median = mode ist, müssen Sie immer noch keine Symmetrie haben.

Und im Vorgriff auf das mögliche Follow-up - auch wenn der Mittelwert = Median = Modus und der dritte zentrale Moment Null sind (also die Momentschiefe 0 ist), müssen Sie immer noch keine Symmetrie haben.

... aber es gab ein Follow-up zu diesem. NickT fragte in Kommentaren, ob es ausreicht, alle ungeraden Momente Null zu haben, um Symmetrie zu erfordern. Die Antwort darauf lautet auch nein. [Siehe die Diskussion am Ende. † ]$^\dagger$

Diese verschiedenen Dinge sind alle durch Symmetrie impliziert (vorausgesetzt, die relevanten Momente sind endlich), aber die Implikation geht nicht in die andere Richtung - trotz vieler elementarer Texte, die eindeutig etwas anderes über einen oder mehrere von ihnen aussagen.

Gegenbeispiele sind ziemlich einfach zu konstruieren.

Betrachten Sie die folgende diskrete Verteilung:

  x     -4    0    1    5
P(X=x)  0.2  0.4  0.3  0.1

Es hat Mittelwert, Median, Modus und drittes zentrales Moment (und damit Momentversatz) alle 0, ist aber asymmetrisch.

Diese Art von Beispiel kann auch mit einer rein kontinuierlichen Verteilung durchgeführt werden. Zum Beispiel ist hier eine Dichte mit den gleichen Eigenschaften:

Dies ist eine Mischung aus symmetrischen dreieckigen Dichten (jeweils mit Bereich 2) mit Mitteln bei -6, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 5 und Mischgewichten von 0,08, 0,08, 0,12, 0,08, 0,28, 0,08 0,08 bzw. 0,20. Die Tatsache, dass ich das gerade erst gemacht habe - nachdem ich es noch nie zuvor gesehen habe - zeigt, wie einfach diese Fälle zu konstruieren sind.

[Ich habe dreieckige Mischungskomponenten ausgewählt, damit der Modus visuell eindeutig ist - eine glattere Verteilung hätte verwendet werden können.]

Hier ist ein weiteres diskretes Beispiel, um die Fragen von Hong Ooi zu beantworten, wie weit diese Bedingungen von der Symmetrie entfernt sind. Dies ist keineswegs einschränkend, sondern zeigt nur, dass es einfach ist, ein weniger symmetrisch aussehendes Beispiel zu erstellen:

   x    -2    0    1    6
P(X=x) 0.175 0.5  0.32 0.005

Die Spitze bei 0 kann relativ höher oder niedriger gemacht werden, ohne die Bedingungen zu ändern; In ähnlicher Weise kann der nach rechts weisende Punkt weiter entfernt platziert werden (mit einer Verringerung der Wahrscheinlichkeit), ohne die relativen Höhen bei 1 und -2 um ein Vielfaches zu verändern (dh ihre relative Wahrscheinlichkeit bleibt in der Nähe des 2: 1-Verhältnisses, wenn Sie sich ganz nach rechts bewegen Element über).

Weitere Details zur Antwort auf die Frage von NickT

$\dagger$

Versuchen Sie diese Zahlenreihe:

Ich würde diese Verteilung nicht als symmetrisch bezeichnen.

Nein.

Lassen $X$ sei eine diskrete Zufallsvariable mit $p(X = -2) = \tfrac{1}{6}$, $p(X = 0) = \tfrac{1}{2}$, und $p(X = 1) = \tfrac{1}{3}$. Offensichtlich,$X$ ist nicht symmetrisch, aber sein Mittelwert und sein Modus sind beide 0.

To repeat an answer I gave elsewhere, but fits here too:

which not only has mean, median and mode all equal, but also has zero skewness. Many other versions are possible.