Das folgende Problem stammt aus einer alten Doktorandenprüfung in unserer Abteilung. Meine eigene Lösung unten ist zeitaufwändig und möglicherweise falsch. Es hängt auch davon ab, dass eine weniger verbreitete Verteilung erkannt wird. Ich frage mich also: Gibt es einen schnelleren Weg, um dieses Problem zu lösen, und wie wird das gemacht? Ich vermute, dass es anwendbare Theoreme über Bayes-Schätzer gibt, die ich nicht kenne oder vergessen habe.
Problem
Gegeben θ>0, Lassen Y1,…,Ynwerden iid aus der Verteilung der Dichte
f(y∣θ)=Iy>0cθ√exp{−θy2/2},
wo
c=(2π)−1/2. Angenommen, die Verlustfunktion zum Schätzen
f(0∣θ)=cθ√ ist gegeben durch
L(δ,cθ√):=(δ−cθ√)2/(cθ√)2 und der Prior auf
θ ist die Gammaverteilung mit Parametern
α>1,β>0.
Meine Lösung
Lassen γ=f(0∣θ). Dann
f(y∣γ)=γnexp{−γ2∑iy2i/(2c2)}
und durch eine Dichtetransformation mit Jacobian
2γ wir bekommen
p(γ)∝γ2α−1exp{−βγ2/c2},
damit
p(γ∣y)∝γn+2α−1exp{−γ2[β/c2+y′y/(2c2)]}.
Jetzt minimieren
EL(δ,γ) unter diesem hinteren wrt
δ ist gleichbedeutend mit Minimieren
E(δ−γ)2 (dh ergibt die gleiche Zielfunktion) unter dem Seitenzahn
p(γ∣y)∝γn+2α−3exp{−γ2[β/c2+y′y/(2c2)]}.
Wir kennen diese Einstellung δ=E(γ∣y)löst ein solches Problem. Wir erkennen auch den neuesten Posterior als verallgemeinertes Gamma mit Parametern (gemäß der Wikipedia- Notation).d=n+2α−2,p=2,1/a=β/c2+y′y/(2c2)−−−−−−−−−−−−−√. Der Mittelwert des verallgemeinerten Gammas istaΓ((d+1)/p)/Γ(d/p)und wir sind fertig.
Antworten:
Schneller gefunden:
Wir wollen minimieren
was bei minimiert wird
Für eine gammaverteilte ZufallsvariableX.∼ G a m m a ( a , b ) Wir haben für Parameterwerte, bei denen das Integral existiert:
Da der hintere auch Gamma ist, nämlich.
Daraus ergeben sich unmittelbar die erforderlichen Momente und gebenδ( y ) .
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