Verallgemeinerung des Korrelationsbegriffs für

Die Pearson-Korrelation wird über Varianz und Kovarianz definiert und funktioniert daher nicht, wenn sie auf stabile Verteilungen mit angewendet wird . Gibt es eine Möglichkeit, den Begriff der Korrelation mit solchen Verteilungen zu verallgemeinern, z. B. durch irgendeine Form der Renormierung?$\alpha$$\alpha \neq 2$

Beispiel:

wobei $X_k := \min(\max(X, -k), k)$ und $Y_k$ ähnlich.

Ich habe etwas gefunden, das nützlich sein könnte. Eine Alternative zur herkömmlichen Korrelation für stabile Verteilungen mit ist der vorzeichenbehaftete symmetrische Kovariationskoeffizient.$\alpha$$\alpha > 1$

Definition. Sei ein bivariater symmetrischer stabiler Zufallsvektor mit . Der vorzeichenbehaftete symmetrische Kovariationskoeffizient zwischen und ist die Größe:$(X_{1},X_{2})$$\alpha$$\alpha > 1$$X_{1}$$X_{2}$

wo

• $[X_{1},X_{2}]_{\alpha} = \int_{S_{2}} s_{1}s_{2}^{\langle\alpha -1\rangle} \mathbf{\Gamma}(d\mathbf{s})$ , wobei das sprektale Maß des Zufallsvektors ist ;$\mathbf{\Gamma}$$(X_{1},X_{2})$

• $||X_{1}||_{\alpha} = ([X_{1},X_{1}]_{\alpha})^{\frac{1}{\alpha}}$ ;

• $\kappa_{(X_{1},X_{2})} = sign([X_{1},X_{2}]_{\alpha}) \quad if\quad sign([X_{1},X_{2}]_{\alpha}) = sign([X_{2},X_{1}]_{\alpha})$ ;

• $\kappa_{(X_{1},X_{2})} = - 1 \quad if\quad sign([X_{1},X_{2}]_{\alpha}) = - sign([X_{2},X_{1}]_{\alpha})$ .

Der folgende Satz zeigt, dass der vorzeichenbehaftete symmetrische Kovariationskoeffizient wünschenswerte Eigenschaften aufweist, ebenso wie der gewöhnliche Korrelationskoeffizient eines bivariaten Gaußschen Zufallsvektors.

Vorschlag. Sei ein bivariater symmetrischer stabiler Zufallsvektor mit . Der vorzeichenbehaftete symmetrische Kovariationskoeffizient hat die folgenden Eigenschaften:$(X_{1},X_{2})$$\alpha$$\alpha > 1$

1. $-1 \leq scov(X_{1},X_{2}) \leq 1$
2. Wenn unabhängig sind, dann ist ;$X_{1},X_{2}$$scov(X_{1},X_{2}) = 0$
3. $|scov(X_{1},X_{2})| = 1$ genau dann, wenn für einige ;$X_{2} = \lambda X_{1}$$\lambda \in \mathbb{R}, \, \lambda \neq 0$
4. für fällt mit dem üblichen Korrelationskoeffizienten zusammen.$\alpha = 2$$scov(X_{1},X_{2})$

Weitere Einzelheiten finden Sie unter: Schätzung und Vergleich des vorzeichenbehafteten symmetrischen Kovariationskoeffizienten und des verallgemeinerten Assoziationsparameters für die alphastabile Abhängigkeit von Bernédy Kodia und Bernard Garel URL: https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00951885/document

Ich fand diese Idee in dem Buch Gilchrist: "Statistische Modellierung mit Quantilfunktionen"; Dies basiert auf Medianwerten:

Der Komiker (nicht lachen) von und wird definiert durch wobei der Median von ist . Dann müsste man dies durch einige Variabilitätsmaße standardisieren, dieses Buch gibt MedAD als Stichprobenmedian der Abweichungen vom Median an. Wie gut das für die stabile Verteilung funktioniert, weiß ich nicht; Sie könnten es durch Simulation untersuchen.$X$$Y$

Antwort auf eine zusätzliche Frage in den Kommentaren: "Glaubst du, Comedian ist bilinear wie Kovarianz?": Erstens erfüllt der Median selbst (vorausgesetzt, dass wir im geraden Fall verwenden der mittlere Median, der Median von als wobei die Reihenfolge bezeichnet Statistiken). Dies liegt daran, dass eine lineare Transformation der Daten die Reihenfolge nicht ändert ( ) oder die Reihenfolge umkehrt ( ). Es ist der letzte Fall, der die Verwendung des mittleren Medians erzwingt! Dies reicht jedoch nicht aus, um zu schließen, dass der Median linear ist. Wir würden benötigen.$M(aX+b)=aM(X)+b$$n$$X_1, X_2, X_3, X_4$$\frac{X_{(2)}+X_{(3)}}{2}$$X_{(i)}$$ax+b$$a>0$$a<0$$M(X+Y)=M(X)+M(Y)$und das ist offensichtlich falsch . Ohne die Linearität des Medians selbst ist die Bilinearität des Komikers zu viel verlangt. Das kann nicht wahr sein.