Was ist die Varianz dieses Schätzers?

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Ich möchte den Mittelwert einer Funktion f schätzen, dh wobei und unabhängige Zufallsvariablen sind. Ich habe Samples von f, aber nicht iid: Es gibt iid Samples für und für jedes gibt es Samples von :X Y Y 1 , Y 2 , Y n Y i n i X X i , 1 , X i , 2 , , X i , n i

EX,Y[f(X,Y)]
XYY1,Y2,YnYiniXXi,1,Xi,2,,Xi,ni

Insgesamt habe ich also Stichprobenf(X1,1,Y1)f(X1,n1,Y1)f(Xi,j,Yi)f(Xn,nn,Yn)

Um den Mittelwert abzuschätzen, berechne ich Offensichtlich ist also ist ein unvoreingenommener Schätzer. Ich frage mich jetzt, was , dh die Varianz des Schätzers. EX,Y[μ]=EX,Y[f(X,Y)]μVar(μ)

μ=i=1n1/nj=1nif(Xi,j,Yi)ni
EX,Y[μ]=EX,Y[f(X,Y)]
μVar(μ)

Edit 2: Ist das die richtige Varianz? It scheint im Grenzbereich zu funktionieren, dh wenn n = 1 und alle die Varianz nur zur Varianz der Mittelwerte. Und wenn die Formel zur Standardformel für die Varianz von Schätzern. Ist das richtig? Wie kann ich beweisen, dass es ist?

Var(μ)=VarY(μi)n+i=1nVarX(f(X,Yi)))nin2
ni=ni=1

Bearbeiten (ignorieren):

Ich glaube, ich habe einige Fortschritte gemacht: Definieren wir zuerst was ein unvoreingenommener Schätzer von ist .μi=j=1nif(Xi,j,Yi)niEX[f(X,Yi)]

Mit der Standardformel für die Varianz können wir schreiben:

Var(μ)=1/n2l=1nk=1nCov(μl,μk)
Dies kann zu vereinfacht werden und Da die s unabhängig voneinander gezeichnet werden, können wir dies weiter vereinfachen auf Und für die Kovarianz:
1/n2(i=1nVar(μl)+1/n2l=1nk=l+1n2Cov(μl,μk))
Xij
1/n2(i=1n1/niVar(f(Xi,j,Yi))+1/n2l=1nk=l+1n2Cov(μl,μk))
Cov(μl,μk)=Cov(j=1nlf(Xj,l,Yl)nl,j=1nkf(Xj,k,Yk)nk)=1(nknl)Cov(j=1nlf(Xj,l,Yl),j=1nkf(Xj,k,Yk))=1(nknl)j=1nlj=1nkCov(f(X,Yl),f(X,Yk))=nknl(nknl)Cov(f(Xi,l,Yl),f(Xi,k,Yk))=Cov(f(X,Yl),f(X,Yk))
wir dies also wieder wir Ich habe jetzt mehrere Fragen:
1/n2(i=1n1/niVar(f(X,Yi))+1/n2l=1nk=l+1n2Cov(f(X,Yl),f(X,Yk)))
  1. Ist die obige Berechnung korrekt?

  2. Wie kann ich aus den angegebenen Stichproben ?Cov(f(X,Yl),f(X,Yk)))

  3. Konvergiert die Varianz gegen 0, wenn ich n gegen unendlich gehen lasse?

Benedikt Bünz
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Antworten:

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Q1: Nein, es ist nicht ganz richtig. Sie lassen die Indizes in Zeile 3 Ihrer endgültigen Ableitung der Kovarianz weg. Dies verdeckt die Tatsache, dass die beiden mit "X" bezeichneten Wohnmobile tatsächlich unabhängig voneinander sind: einer hatte einen Index und der andere a . In diesem ganzen Gleichheitsblock sollten die einzigen Terme ungleich Null sein, wenn , da Funktionen unabhängiger Eingaben unabhängig sind. (Ich nehme an, Sie sind damit , zu sagen ist unabhängig von , obwohl dies streng genommen nicht aus paarweisen Unabhängigkeitsansprüchen zwischen allen und folgt .)kk=X12,Y1X22,Y2XY

F2: Von oben ist dieser Term nur dann ungleich Null, wenn , und in diesem Fall reduziert er sich auf . Das Ergebnis nach der Summe ist .C o v ( f ( X j k , Y k ) , f ( X j k , Y k ) ) = Vk=Cov(f(Xjk,Yk),f(Xjk,Yk))=Var(f(Xjk,Yk))Cov(μk,μk)=1nkVar(f(Xjk,Yk))

F3: Ja: Nach diesen Änderungen haben Sie nur eine lineare Anzahl von Termen in der allerletzten Summe, sodass der quadratische Term des Nenners gewinnt.

eric_kernfeld
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Die Antwort auf "Konvergiert die Varianz gegen 0, wenn ich n ins Unendliche lasse?" ist ja".
eric_kernfeld