Wenn

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Lassen und unabhängige Ereignisse, und sei und unabhängige Ereignisse sein. Wie zeige ich, dass und auch unabhängige Ereignisse sind? $A$ $B$ $A$ $C$ $A$ $B\cup C$

Nach der Definition unabhängiger Ereignisse sind und genau dann unabhängig, wenn $A$ $B\cup C$

P (A \cap (B \cup C)) = P (A) P (B \cup C) .

$P(A\cap (B\cup C)) = P(A)P(B\cup C).$

Da und und und unabhängig sind, weiß ich, dass $A$ $B$ $A$ $C$

P (A \cap B) = P (A) P (B) and P (A \cap C) = P (A) P (C) .

$P(A\cap B) = P(A)P(B) \quad\text{and}\quad P(A\cap C)=P(A)P(C).$

Ich habe jedoch keine Ahnung, wie ich das lösen soll. Ich habe versucht, die mir bekannten Wahrscheinlichkeitsregeln anzuwenden, bin aber nicht weitergekommen.

probability self-study independence jenn
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Bitte füge das [self-study]Tag hinzu und lies das Wiki .

Gung - Reinstate Monica

3

Ich finde es ein bisschen enttäuschend , dass die Leute einfach haben hier das Problem. Unabhängig davon, ob das Tag "Selbststudium" vorhanden ist, wissen wir alle, wie es für mich ist, eine Antwort zu erhalten und wie es ist, zu einer geführt zu werden. Letzteres ist fast immer sinnvoller.

jlimahaverford

Ich habe Sie positiv bewertet, jetzt frage ich mich sogar, ob sowohl für meine Lösung als auch für jtobins Lösung etwas fehlt. Da wir beide davon ausgehen, dass A, B und C voneinander unabhängig sind, ist dies möglicherweise nicht korrekt.

Deep North

Hmmm. Das ist ein guter Punkt. Ich werde das selbst herausfinden.

jlimahaverford

3

Besonders enttäuschend ist, dass diese Frage drei falsche Antworten erhalten hat, obwohl zwei möglicherweise noch geändert wurden. Betrachten Sie zwei unabhängige Würfe einer fairen Münze und lassen Sie

und

die Ereignisse sein, bei denen der erste und der zweite Wurf zu Kopf bzw. Schwanz führten, und

das Ereignis, dass genau ein Wurf zu Köpfen führte. Somit ist

B = {H T, H H}

$B= \{HT,HH\}$

C = {H T, T T}

$C=\{HT,TT\}$

A = {H T, T H}

$A=\{HT,TH\}$

,

P (A) = P (B) = P (C) = \frac{1}{2}

$P(A)=P(B)=P(C)=\frac 12$

, so dass

unabhängig ist ebenso wie

. Aber

P (A \cap B) = P (A \cap C) = \frac{1}{4}

$P(A\cap B)=P(A\cap C)=\frac 14$

A, B

$A,B$

A, C

$A,C$

,

und

sind abhängig.

P (B \cup C) = \frac{3}{4}, P (A \cap (B \cup C) = \frac{1}{4} \neq P (A) P (B \cup C)

$P(B\cup C)=\frac 34,P(A\cap(B\cup C)=\frac 14 \neq P(A)P(B\cup C)$

A

$A$

B \cup C

$B\cup C$

Dilip Sarwate

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Lassen Sie und unabhängige Ereignisse, und sei und unabhängige Ereignisse sein. Wie zeige ich, dass und auch unabhängige Ereignisse sind? $A$ $B$ $A$ $C$ $A$ $B\cup C$

Sie können dieses Ergebnis nicht anzeigen, da es nicht für alle die diese Eigenschaften genießen. Betrachten Sie das folgende Gegenbeispiel. $A, B, C$

Betrachten Sie zwei unabhängige Würfe einer fairen Münze. Sei und die Ereignisse, bei denen der erste und der zweite Wurf zu Kopf bzw. Schwanz führten. Sei das Ereignis, dass genau ein Wurf zu Köpfen führte. $B=\{HT,HH\}$ $C=\{HT,TT\}$ $A=\{HT,TH\}$

Dann ist während $P(A)=P(B)=P(C) = \frac 12$ und so sindundunabhängige Ereignisse, ebenso wieund unabhängige Ereignisse. In der Tat sindundauch unabhängige Ereignisse (dh,undsindpaarweiseunabhängige Ereignisse). Jedoch $P(A\cap B) = P(A\cap C) = \frac 14$ $A$ $B$ $A$ $C$ $B$ $C$ $A$ $B$ $C$ und soundsindabhängigEreignisse.

P (A) = \frac{1}{2} and P (B \cup C) = \frac{3}{4} while P (A \cap (B \cup C)) = \frac{1}{4} \neq P (A) P (B \cup C)

$P(A) = \frac 12 ~ \text{and}~ P(B\cup C)=\frac 34 ~ \text{while}~ P(A\cap(B\cup C)) =\frac 14 \neq P(A)P(B\cup C)$

A

$A$

B \cup C

$B\cup C$

Lassen Sie uns unser Gegenbeispiel legen und überlegen, welche Bedingungen erforderlich sind, um und unabhängige Ereignisse zu erreichen. Die anderen Antworten haben die Arbeit bereits für uns erledigt. Wir haben das $A$ $B\cup C$ und somit istgleich(wie benötigt, um zu beweisen, dassund

\begin{aligned} P (A \cap (B \cup C)) & = P ((A \cap B) \cup (A \cap C)) \\ = P (A \cap B) + P (A \cap C) - P (((A \cap B) \cap (A \cap C)) \\ = P (A) P (B) + P (A) P (C) - P (A \cap B \cap C) \\ = P (A) (P (B) + P (C) - P (B \cap C)) + (P (A) P (B \cap C) - P (A \cap B \cap C)) \\ = P (A) P (B \cup C) + [P (A) P (B \cap C) - P (A \cap B \cap C)] \end{aligned}

$\begin{align} P(A\cap (B\cup C)) &= P((A\cap B) \cup (A\cap C))\\ &= P(A\cap B) + P(A\cap C) - P(((A\cap B) \cap (A\cap C))\\ &= P(A)P(B) + P(A)P(C) - P(A\cap B \cap C)\\ &= P(A)\left(P(B) + P(C) - P(B\cap C)\right) + \left(P(A)P(B\cap C) - P(A\cap B \cap C)\right)\\ &= P(A)P(B\cup C) + \left[P(A)P(B\cap C) - P(A\cap B \cap C)\right] \end{align}$

P (A \cap (B \cup C))

$P(A\cap (B\cup C))$

P (A) P (B \cup C)

$P(A)P(B \cup C)$

A

$A$

sind unabhängige Ereignisse) genau dann, wenn

gleich

ist,

wenn

und

unabhängig sind Veranstaltungen.

B \cup C

$B\cup C$

P (A) P (B \cap C)

$P(A)P(B\cap C)$

P (A \cap B \cap C) = P (A \cap (B \cap C))

$P(A\cap B \cap C) = P(A\cap (B\cap C))$

A

$A$

B \cap C

$B\cap C$

und sind unabhängige Ereignisse, wenn und unabhängige Ereignisse sind. $A$ $B\cup C$ $A$ $B\cap C$

Beachten Sie, dass , ob und unabhängig sind oder nicht , ist nicht relevant für die Frage auf der Hand: in dem Gegenbeispiel oben, und waren unabhängige Ereignisse und doch und waren keine unabhängigen Ereignisse. Natürlich, wie erwähnt von Deep Norden, wenn , , und sind für beide Seiten voneinander unabhängige Ereignisse (die nicht nur Unabhängigkeit erfordert und $B$ $C$ $B$ $C$ $A = \{HT, TH\}$ $B\cap C = \{HT\}$ $A$ $B$ $C$ $B$ aber auch für zu halten), dann sind und tatsächlich unabhängige Ereignisse. Die gegenseitige Unabhängigkeit von , und ist eineausreichendeBedingung. $C$ $P(A\cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)$ $A$ $B\cap C$ $A$ $B$ $C$

Wenn und unabhängige Ereignisse sind , können wir zusammen mit der Hypothese, dass und unabhängig sind, ebenso wie die unabhängigen Ereignisse und , zeigen, dass unabhängig von allen Ereignissen , von allen Ereignissen in der durch erzeugten Algebra $A$ $B\cap C$ $A$ $B$ $A$ $C$ $A$ $4$ $B\cap C, B\cap C^c, B^c\cap C, B^c\cap C^c$ $16$ $\sigma$ und ; eines dieser Ereignisse ist . $B$ $C$ $B\cup C$

Dilip Sarwate
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Ich würde hinzufügen, dass ein trivialer Weg, um die gerahmte Bedingung aufrechtzuerhalten,

und

disjunkt ist, da dann

.

B

$B$

C

$C$

P (B \cap C) = 0

$P(B\cap C)=0$

Miguel

@ Miguel Ja, das ist eine weitere ausreichende Bedingung, damit

und

unabhängige Ereignisse sind, genau wie die gegenseitige Unabhängigkeit von

eine ausreichende Bedingung ist, wie meine Antwort sagt. Meine Antwort bezieht sich auf die notwendige Bedingung, damit

und

unabhängige Ereignisse sind.

A

$A$

B \cup C

$B\cup C$

A, B, C

$A,B,C$

A

$A$

B \cup C

$B\cup C$

Dilip Sarwate

6

Zwei Dinge.

1) Gibt es irgendeine Weise wissen Sie das Ereignis neu zu schreiben . Intuitiv wissen wir, wie A, B und A, C interagieren, aber wir wissen nicht, wie B, C interagieren. Also steht uns im Weg. $A \cap (B\cup C)$ $(B\cup C)$

2) Gibt es eine Möglichkeit, schreiben ? $P(X\cup Y)$

Auch wenn Sie die Antwort nicht sofort erhalten, bearbeiten Sie bitte Ihre Antwort mit den Antworten auf diese Fragen, und wir werden von dort aus fortfahren.

bearbeiten

Bitte überprüfen Sie mich diesbezüglich. Ich glaube, ich habe ein Gegenbeispiel.

Wirf einen Würfel, um X zu erhalten.

A: X <4

B: X in {1, 4}

C: X in {1, 5}

jlimahaverford
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1

Ich würde mich an diese Antwort halten! Versuchen Sie es selbst herauszufinden! Sie gewinnen nicht zu viel, wenn Sie nur die Antwort sehen!

Gumeo

2

Laut Dilip Sarwates Kommentar sind diese Ereignisse nachweislich nicht unabhängig.

Die typische Art und Weise, wie ich versuchen würde, die Unabhängigkeit zu beweisen, verläuft wie folgt:

\begin{aligned} P (A, B \cup C) & = P ({A, B} \cup {A, C}) & distributive property \\ = P (A, B) + P (A, C) - P (A, B, C) & sum rule \end{aligned}

$\begin{align*} P(A, B \cup C) & = P(\{A, B\} \cup \{A, C\}) & \text{distributive property} \\ & = P(A, B) + P(A, C) - P(A,B,C) & \text{sum rule} \end{align*}$

und hier möchten Sie aus dem Ausdruck herausrechnen, um die Eigenschaft , die ausreichen würde, um die Unabhängigkeit zu beweisen. Wenn Sie dies jedoch hier versuchen, bleiben Sie stecken: $P(A)$ $P(A, B \cup C) = P(A)P(B \cup C)$

P (A, B) + P (A, C) - P (A, B, C) = P (A) {P (B) + P (C) - P (B, C | A)}

$P(A, B) + P(A, C) - P(A,B,C) = P(A) \{ P(B) + P(C) - P(B,C \, | \, A) \}$

Beachten Sie, dass der geschweifte Ausdruck fast , was Sie zu Ihrem Ziel bringen würde. Sie haben jedoch keine Informationen, mit denen Sie reduzieren können $P(B) + P(C) - P(B,C)$ weiter. $P(B,C \, | \, A)$

Beachten Sie, dass ich in meiner ursprünglichen Antwort schlampig behauptet hatte, dass und behauptete fälschlicherweise, dass das zu beweisende Ergebnis wahr sei; es ist leicht zu vermasseln! $P(B, C \, | \, A) = P(A)P(B, C)$

Da es sich jedoch als schwierig erweist, Unabhängigkeit auf diese Weise zu demonstrieren, besteht ein guter nächster Schritt darin, nach einem Gegenbeispiel zu suchen, dh etwas, das den Anspruch auf Unabhängigkeit verfälscht. Dilip Sarwates Kommentar zum OP enthält genau ein solches Beispiel.

jtobin
quelle

Warum ist

in der zweiten Zeile gleich

in der dritten Zeile? Es ist nicht gegeben, dass

unabhängig von

, nur von

und getrennt von

ist.

P (A, B, C)

$P(A,B,C)$

P (A) P (B, C)

$P(A)P(B,C)$

A

$A$

B \cap C

$B\cap C$

B

$B$

C

$C$

Dilip Sarwate

Ist nach Ihrer Bearbeitung nur die Ableitung schlampig, aber das behauptete Ergebnis ist selbst korrekt,

ist tatsächlich unabhängig von

da das OP mit dem Nachweis beauftragt ist? Oder beweist die Ableitung nicht die Behauptung, dass

unabhängig von

?

A

$A$

B \cup C

$B\cup C$

A

$A$

B \cup C

$B\cup C$

Dilip Sarwate

@DilipSarwate Meine Ableitung beweist den Anspruch nicht; Meine Bearbeitung hat auch die fehlerhafte

Behauptung in

geändert , um dies klar zu machen. Ich werde die Antwort noch einmal bearbeiten, um sie genauer zu formulieren.

=

$=$

\neq

$\neq$

jtobin

OK, +1 für die Korrektur Ihrer Antwort.

Dilip Sarwate

1

$P[A \cap(B \cup C)]=P[(A \cap B) \cup (A \cap C)]=P(A \cap B)+P(A \cap C)-P[( A \cap B)\cap (A \cap C)]=P(A)*P(B)+P(A)*P(C)-P(A \cap B \cap C)$

$P(A)*P(B \cup C)=P(A)[P(B)+P(C)-P(B \cap C)]=P(A)*P(B)+P(A)*P(C)-P(A)*P( B \cap C)$

Nun müssen wir $P(A \cap B \cap C)=P(A)*P( B \cap C)$

Wenn voneinander unabhängig sind, sind die Ergebnisse offensichtlich. $A, B,C$

Während die Bedingung und unabhängig ist und und unabhängig sind, garantieren Sie nicht unabhängig von und $A$ $B$ $A$ $C$ $B$ $C$

Daher muss das OP möglicherweise den Zustand der Frage erneut prüfen.

Tiefer Norden
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In Ihrer zweiten langen Gleichung haben Sie einen Term

als Sie diesen mittleren Ausdruck multipliziert haben. Aber Sie haben stattdessen

,

Sie haben

und

gleichgesetzt, wobei Sie

angenommen haben, dass

und

- P (A) P (B \cap C)

$-P(A)P(B\cap C)$

- P (A \cap B \cap C)

$-P(A\cap B \cap C)$

P (A) P (B \cap C)

$P(A)P(B\cap C)$

P (A \cap B \cap C)

$P(A\cap B \cap C)$

A

$A$

sind unabhängig. Warum ist das so?

B \cap C

$B\cap C$

Dilip Sarwate

Danke, es ist eine angenommene Unabhängigkeit, die möglicherweise nicht korrekt ist.

Deep North

-1

P {A (B + C)} = P (AB + BC) = P (AB) + P (AC) -P (ABC) = P (A) P (B) + P (A) P (C) - P (A) P (BC) [A, B, C sind voneinander unabhängig] = P (A) [P (B) + P (C) -P (BC)] = P (A) P (B + C) Daher sind A und B + C unabhängig.

Srishti Mondal
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Wenn

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