Das Prestige-Magier-Paradoxon

Sie kennen wahrscheinlich den Trick im Film The Prestige :

[MOVIE SPOILER] Ein Zauberer hat einen beeindruckenden Zaubertrick gefunden: Er geht in eine Maschine, schließt die Tür und verschwindet und taucht auf der anderen Seite des Raumes wieder auf. Aber die Maschine ist nicht perfekt: Anstatt ihn nur zu teleportieren, dupliziert sie ihn. Der Zauberer bleibt, wo er ist, und auf der anderen Seite des Raums wird eine Kopie erstellt. Dann fällt der Zauberer in der Maschine diskret in einen Wassertank unter dem Boden und ertrinkt. Bearbeiten: Die Wahrscheinlichkeit, dass die neue Kopie des Magiers ertrinkt, beträgt 1/2 (mit anderen Worten, die neue Kopie hat 1/2 Chancen zu ertrinken und 1/2 Chancen, in den Raum zu gelangen). Außerdem fällt der Wassertank niemals aus und die Wahrscheinlichkeit ist 1, dass der Magier, der in den Tank fällt, stirbt.

Der Zauberer mag diesen Trick also nicht wirklich, weil "man nie weiß, wo man sein wird, auf der anderen Seite des Raumes oder ertrunken".

Das Paradoxon lautet nun: Stellen Sie sich vor, der Magier macht den Trick 100 Mal. Was sind seine Überlebenschancen?

Bearbeiten, zusätzliche Frage: Wie hoch sind die Chancen für den Magier, sein physisches Gehirn zu behalten und kein neues zu haben?

Schnelle Analyse: Eine Hand, ein Magier lebt und 100 ertrunkene Magier, also sind seine Chancen 1 von 100.

Andererseits hat er jedes Mal, wenn er den Trick macht, 1/2 Chancen, am Leben zu bleiben, also sind seine Chancen , am Leben zu bleiben.$(1/2)^{100}=1/(2^{100})$

Was ist die richtige Antwort und warum?

Dieser Fehler wurde 1654 in schriftlichen Gesprächen zwischen Fermat, Pascal und bedeutenden französischen Mathematikern bewiesen, als die beiden ersteren das "Problem der Punkte" betrachteten. Ein einfaches Beispiel ist folgendes:

Zwei Personen spielen auf das Ergebnis von zwei fairen Münzwürfen. Spieler A gewinnt, wenn einer der beiden Köpfe ist. Andernfalls gewinnt Spieler B. Wie hoch sind die Gewinnchancen von Spieler B?

Das falsche Argument beginnt mit der Untersuchung der möglichen Ergebnisse, die wir aufzählen können:

1. H : Der erste Flip ist Köpfe. Spieler A gewinnt.
2. TH : Nur der zweite Flip ist Heads. Spieler A gewinnt.
3. TT : Kein Flip ist Kopf. Spieler B gewinnt.

Da Spieler A zwei Gewinnchancen hat und B nur eine Chance hat, sind die Chancen für B (nach diesem Argument) 1: 2; Das heißt, B hat eine Chance von 1/3. Zu denjenigen, die dieses Argument verteidigten, gehörte Gilles Personne de Roberval , Gründungsmitglied der Französischen Akademie der Wissenschaften.

Der Fehler ist uns heute klar, weil wir von Menschen erzogen wurden, die aus dieser Diskussion gelernt haben. Fermat argumentierte (richtig, aber nicht sehr überzeugend), dass Fall (1) wirklich als zwei Fälle betrachtet werden muss, als ob das Spiel durch beide Flips gespielt worden wäre, egal was passiert. Das Aufrufen einer hypothetischen Folge von Flips, die nicht wirklich gespielt wurden, macht vielen Menschen unangenehm. Heutzutage könnte es überzeugender sein, nur die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Fälle herauszufinden: Die Chance von (1) ist 1/2 und die Chancen von (2) und (3) sind jeweils 1/4, woher die Chance, dass A. Gewinne sind gleich 1/2 + 1/4 = 3/4 und die Chance, dass B gewinnt, ist 1/4. Diese Berechnungen stützen sich auf Wahrscheinlichkeitsaxiome, die schließlich zu Beginn des 20. Jahrhunderts festgelegt wurden, aber im Wesentlichen bis zum Herbst 1654 von Pascal und Fermat festgelegt und drei Jahre später von Christian Huyghens in seiner kurzen Abhandlung über die Wahrscheinlichkeit (die erste) europaweit populär gemacht wurden jemals veröffentlicht), De ratiociniis in ludo aleae (Berechnung in Glücksspielen).

Die vorliegende Frage kann als 100 Münzwürfe modelliert werden, wobei Köpfe den Tod und Schwänze das Überleben darstellen. Das Argument für "1 in 100" (das übrigens eigentlich 1/101 sein sollte) hat genau den gleichen Fehler.

Einerseits lebt ein Magier und 100 ertrunkene Magier, also sind seine Chancen 1 von 100.

Diese Argumentation setzt implizit voraus, dass jeder Magier am Ende des Prozesses mit gleicher Wahrscheinlichkeit überlebt. Allerdings müsste nur das Original alle 100 Prüfungen bestehen, und er hätte die schlechtesten Chancen. Vergleichen Sie das Original mit dem letzten Klon, der erstellt wird. Er muss nur einmal überleben und hat eine 1: 2-Chance, der einzige Überlebende zu sein.

$\frac{1}{2^{100}}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass er überlebt, beträgt 1 bei jedem Versuch und die Wahrscheinlichkeit 1, dass er bei jedem Versuch stirbt (ungeachtet des Versagens des Wassertanks). Nach dem Duplizieren gibt es kein "ihn" mehr; Es gibt "ihn".