Satz unkorrelierter, aber linear abhängiger Variablen

Ist es möglich, eine Reihe von Variablen zu haben, die nicht korreliert, aber linear abhängig sind?$K$

dh und∑ K i = 1 a i x i = $cor(x_i, x_j)=0$$\sum_{i=1}^K a_ix_i=0$

Wenn ja, können Sie ein Beispiel schreiben?

EDIT: Aus den Antworten folgt, dass es nicht möglich ist.

Wäre es zumindest möglich, dass wobei der geschätzte Korrelationskoeffizient ist, aus dem geschätzt wird Abtastwerte der Variablen und ist eine Variable, die nicht mit .ρ n v x $\mathbb{P}(|\hat \rho_{x_i, x_j}-\hat \rho_{x_i, v}|<\epsilon)$$\hat\rho$$n$$v$$x_i$

Ich denke so etwas wieK>>$x_K=\dfrac{1}{K} \sum_{i=1}^{K-1} x_i$ $K>>0$

Wie die Antwort von @ RUser4512 zeigt, können unkorrelierte Zufallsvariablen nicht linear abhängig sein. Aber fast unkorreliertheit können linear abhängig sein, und ein Beispiel davon ist etwas lieber an das Herz des Statistikers.

Angenommen, ist eine Menge von K unkorrelierten Zufallsvariablen mit Einheitsvarianz und gemeinsamem Mittelwert μ . Definiere Y i = X i - ˉ X, wobei ˉ X = $\{X_i\}_{i=1}^K$$K$$\mu$$Y_i = X_i - \bar{X}$. Dann sind dieYiZufallsvariablen mit dem Mittelwert Null, so dass ∑ K i = 1 Yi=0 ist, das heißt, sie sind linear abhängig. Nun istYi=K-$\bar{X} = \frac 1K \sum_{i=1}^K X_i$$Y_i$$\sum_{i=1}^K Y_i = 0$ so dass var(Yi)=( K -

$$Y_i = \frac{K-1}{K} X_i - \frac 1K\sum_{j \neq i}X_j$$ während cov(Yi,Yj)=-2(K- $$\operatorname{var}(Y_i) = \left(\frac{K-1}{K}\right)^2+\frac{K-1}{K^2} = \frac{K-1}{K}$$ zeigtdass dieYisindfastunkorreliertheit mit Korrelationskoeffizienten- $$\operatorname{cov}(Y_i,Y_j) = -2\left(\frac{K-1}{K}\right)\frac 1K + \frac{K-2}{K^2}= \frac{-1}{K}$$ $Y_i$ .$\displaystyle -\frac{1}{K-1}$

Siehe auch meine frühere Antwort .

Nein.

$a_i$$a_1=1$

$K=2$$x_1=-a_2x_2$$cor(x_1,x_2)=-1$$a_1$

$K$$x_1=-\sum_{i>1}a_ix_i$$cor(x_1,x_k)=-1$$cor(x_1,x_k)=0$$a_i$$i>1$$a_1$

$X$$Y$

$\mathop{\mathrm{Cov}}(X,Y)= \mathop{\mathrm{E}}(XY)-\mathop{\mathrm{E}}(X)\mathop{\mathrm{E}}(Y)=0-0=0$

$X+Y=0$$X$$Y$

$X$$Y$