Was ist so 'Moment' an 'Momenten' einer Wahrscheinlichkeitsverteilung?

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Ich weiß, was Momente sind und wie man sie berechnet und wie man die Momentgenerierungsfunktion verwendet, um Momente höherer Ordnung zu erhalten. Ja, ich kenne die Mathematik.

Jetzt, wo ich mein Statistikwissen für die Arbeit verbessern muss, dachte ich, ich könnte diese Frage genauso gut stellen - es nervt mich schon seit ein paar Jahren und als ich noch am College war, wusste kein Professor die Antwort oder würde die Frage einfach (ehrlich) ablehnen. .

Was bedeutet das Wort "Moment" in diesem Fall? Warum diese Wortwahl? Das hört sich für mich nicht intuitiv an (oder ich habe es im College noch nie so gehört :) Wenn ich mir das überlege, bin ich genauso neugierig auf seine Verwendung im Moment der Trägheit;), aber konzentrieren wir uns jetzt nicht darauf.

Also, was bedeutet ein "Moment" einer Distribution und was versucht sie zu tun und warum DIESES Wort! :) Warum interessiert sich jemand für Momente? In diesem Moment fühle ich mich anders über diesen Moment;)

PS: Ja, ich habe wahrscheinlich eine ähnliche Frage zur Varianz gestellt, aber ich schätze intuitives Verstehen, wenn ich in dem Buch nachschaue, um es herauszufinden :)

PhD
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5
Beginnen Sie bei der Wortwahl mit der Etymologie .
whuber
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@whuber: ja! Ich habe nachgeschlagen, bevor ich diese Frage gestellt habe - auch vor vielen Jahren;)
PhD
Ich würde die von @whuber bereitgestellte Etymologie mit dieser Definition ( thefreedictionary.com/moment ) aus dem Collins English Dictionary kombinieren . Kombiniert mit gängigen Definitionen wie "kurze Zeit" oder "bestimmte Instanz". Ich bin mir ziemlich sicher, dass dieser Moment in unserem mathematischen / statistischen Sinne mit Punkten austauschbar ist. Gerade diese Punkte haben in bestimmten Anwendungen (MGF oder MOI) eine besondere Bedeutung, bevor Descartes Geometrie und Algebra keine systematische Verknüpfung hatten, sodass sie wahrscheinlich eine Vielzahl unterschiedlicher Begriffe für das hatten, was eigentlich dasselbe ist.
Chris Simokat
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Es ist von Macbeth: " Wer kann weise, erstaunt, gemäßigt und wütend sein, treu und neutral in einem Moment? " Macbeth: Akt II. Sc. 3
wolfies

Antworten:

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Laut dem Artikel "Erstes (?) Auftreten allgemeiner Ausdrücke in der mathematischen Statistik" von HA David wurde das Wort "Moment" in dieser Situation erstmals 1893 in einem Brief an die Natur von Karl Pearson mit dem Titel "Asymmetrische Frequenzkurven" verwendet .

Neymans Biometrika- Arbeit von 1938 "Eine historische Notiz zu Karl Pearsons Ableitung der Momente des Binomials" bietet eine gute Übersicht über den Brief und Pearsons nachfolgende Arbeit über Momente der Binomialverteilung und die Methode der Momente. Es ist eine wirklich gute Lektüre. Hoffentlich haben Sie Zugriff auf JSTOR, da ich jetzt nicht die Zeit habe, eine gute Zusammenfassung des Papiers zu geben (obwohl ich dies an diesem Wochenende tun werde). Ich möchte jedoch ein Stück erwähnen, das Aufschluss darüber gibt, warum der Begriff "Moment" verwendet wurde. Aus Neymans Papier:


α

Dies führte schließlich zur "Methode der Momente". Neyman geht auf die Ableitung der binomischen Momente durch Pearson im obigen Artikel ein.

Und aus Pearsons Brief:

sthd=c(1+nq)

Dies deutet darauf hin, dass Pearson den Begriff „Moment“ als Anspielung auf den in der Physik gebräuchlichen Begriff „ Trägheitsmoment“ verwendete.

Hier ist ein Scan des größten Teils von Pearsons Nature- Brief:

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Den gesamten Artikel auf Seite 615 finden Sie hier .

Nick Cox
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1
Kann ich dieser Antwort eine +100 geben? ;)
PhD
5
@Nupul, du kannst +100 als Kopfgeld geben. Die Kopfgelder können vergeben werden, wenn die Frage zwei Tage alt ist.
mpiktas
4
@Nupul Beobachten Sie Pearsons mehrfache Verweise auf "Schwerkraft". Offensichtlich argumentiert er mit einer physikalischen Analogie. Dies wirft die Frage zurück, warum die Physik für solche Dinge den Begriff "Moment" verwendet. Ich glaube, es ist einfach eine natürliche Verallgemeinerung der Idee des Trägheitsmoments (eines zweiten Moments), auf die in den etymologischen Links für "Moment" verwiesen wird. Deshalb ist die Etymologie relevant.
whuber
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Die Physik erkennt höhere Momente als die Sekunde, Nupul, und die Formeln sind mit denen der Statistik identisch. Man übersetzt lediglich "Dichte" eines Objekts in "Wahrscheinlichkeitsdichte". Tatsächlich hat die Physik die Idee eines Moments als Koeffizienten einer Potenzreihenexpansion in einem geeigneten Koordinatensystem verallgemeinert .
whuber
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@Nupul Ich weiß nicht, ob ich mehr hinzufügen kann, als whuber angegeben hat. Ich denke, dass alles, was über das hinausgeht, was ich in meiner Antwort und in Whubers Kommentaren verlinkt habe, in Physics SE möglicherweise gründlicher behandelt werden kann . Und wenn es immer noch nicht "tief genug" ist, gibt es immer die englische SE, deren fünfthäufigstes Tag "Etymologie" ist. Aber gute Frage! Ich habe es genossen, es zu recherchieren und drei großartige Artikel gefunden, von denen ich nie wusste, dass sie existieren.
7

Jeder hat seinen Moment auf Momente. Ich hatte meine in Cumulant und Momentnamen jenseits von Varianz, Schiefe und Kurtosis und verbrachte einige Zeit damit, diesen wunderbaren Thread zu lesen.

Seltsamerweise fand ich die "Moment-Erwähnung" in "HA Davids Artikel" nicht. Also ging ich zu Karl Pearson: Das wissenschaftliche Leben in einem statistischen Zeitalter , einem Buch von TM Porter, und Karl Pearson und den Ursprüngen der modernen Statistik: Ein Elastiker Er wird Statistiker und hat beispielsweise eine Geschichte der Theorie der Elastizität und der Festigkeit von Materialien von Galilei bis zur Gegenwart herausgegeben .

Sein Hintergrund war sehr breit und er war insbesondere ein Professor für Ingenieurwesen und Elastiker, der an der Bestimmung der Biegemomente einer Brückenspanne und der Berechnung der Beanspruchung von Mauerwerksstauwerken beteiligt war. In der Elastizität beobachtet man nur begrenzt, was gerade vor sich geht (Bruch). Er schien interessiert zu sein an (aus Porters Buch):

grafische Berechnung oder, in seiner würdigsten und mathematischsten Form, grafische Statik.

Später :

Schon zu Beginn seiner statistischen Karriere hat er Kurven mit der "Methode der Momente" erstellt. In der Mechanik bedeutete dies, einen komplizierten Körper einem einfachen oder abstrakten zuzuordnen, der den gleichen Schwerpunkt und den gleichen "Schwenkradius" wie der erste und der zweite Moment hatte. Diese Größen entsprachen in der Statistik dem Mittelwert und der Streuung oder Streuung der Messungen um den Mittelwert.

Und seit:

Pearson befasste sich mit diskreten Messintervallen, dies war eher eine Summe als ein Integral

Trägheitsmomente können für eine Zusammenfassung eines sich bewegenden Körpers stehen: Berechnungen können durchgeführt werden, als ob der Körper auf einen einzigen Punkt reduziert wäre.

Pearson stellte diese fünf Gleichungen als Gleichungssystem auf, das sich zu einem der neunten Grade zusammensetzte. Eine numerische Lösung war nur durch sukzessive Näherungen möglich. Es hätte bis zu neun echte Lösungen geben können, obwohl es im vorliegenden Fall nur zwei gab. Er zeichnete beide Ergebnisse neben dem Original auf und war im Allgemeinen mit dem Erscheinungsbild des Ergebnisses zufrieden. Er verließ sich jedoch nicht auf eine visuelle Kontrolle, um zwischen ihnen zu entscheiden, sondern errechnete den sechsten Moment, um die beste Übereinstimmung zu bestimmen

Kehren wir zur Physik zurück. Ein Moment ist eine physikalische Größe, die die lokale Anordnung einer physikalischen Eigenschaft im Allgemeinen in Bezug auf einen bestimmten Ordnungspunkt oder eine bestimmte Ordnungsachse (klassisch in Raum oder Zeit) berücksichtigt. Es fasst physikalische Größen zusammen, die in einiger Entfernung von einer Referenz gemessen wurden. Ist die Menge nicht auf einen Punkt konzentriert, wird der Moment über den gesamten Raum mittels Integralen oder Summen "gemittelt".

Offensichtlich lässt sich der Begriff der Momente auf die Entdeckung des Funktionsprinzips des von Archimedes "entdeckten" Hebels zurückführen. Eines der ersten bekannten Vorkommen ist das lateinische Wort "Momentorum" mit dem gegenwärtig akzeptierten Sinn (Moment um ein Rotationszentrum). Im Jahr 1565 übersetzte Federico Commandino das Werk von Archimedes (Liber de Centro Gravitatis Solidorum) wie folgt:

Der Schwerpunkt jeder festen Figur ist der Punkt in ihr, um den herum allseitig Teile gleichen Moments stehen.

oder

Centrum gravitatis uniuscuiusque solidae figurae est punctum illud intra positum

Anscheinend ist die Analogie zur Physik ziemlich stark: Finden Sie aus einer komplizierten diskreten physischen Form Größen, die dieser hinreichend nahe kommen, eine Form der Kompression oder Sparsamkeit.

Laurent Duval
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Statistische Momente sind zu simpel und daher zusätzliche Deskriptoren einer Kurve / Verteilung. Wir kennen die ersten beiden Momente und diese sind im Allgemeinen für kontinuierliche Normalverteilungen oder ähnliche Kurven nützlich. Diese ersten beiden Momente verlieren jedoch ihren informativen Wert für andere Distributionen. Somit liefern andere Momente zusätzliche Informationen über die Form der Verteilung.

Daniel I Shostak
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Ich glaube nicht, dass die Bedeutung der ersten beiden Momente für alle nicht normalen Verteilungen an Bedeutung verliert, zum Beispiel ist die mittlere Verweilzeit im Allgemeinen der erste Moment oder der ganzzahlige Durchschnitt von Zeiten in einer Zeitreihe.
Carl
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Frage: Was bedeutet das Wort "Moment" in diesem Fall? Warum diese Wortwahl? Das hört sich für mich nicht intuitiv an (oder ich habe es im College noch nie so gehört :) Wenn ich mir das überlege, bin ich genauso neugierig auf seine Verwendung im Moment der Trägheit;), aber konzentrieren wir uns jetzt nicht darauf.

Antwort: Tatsächlich ist im historischen Sinne der Moment der Trägheit wahrscheinlich der Ort, von dem der Sinn des Wortes Momente kommt. In der Tat kann man (wie unten gezeigt) zeigen, wie das Trägheitsmoment mit der Varianz zusammenhängt. Dies ergibt auch eine physikalische Interpretation höherer Momente.

In der Physik ist ein Moment ein Ausdruck, der das Produkt einer Entfernung und einer physikalischen Größe beinhaltet und auf diese Weise erklärt, wie die physikalische Größe lokalisiert oder angeordnet ist. Momente werden normalerweise in Bezug auf einen festen Bezugspunkt definiert; Sie behandeln physikalische Größen, die in einiger Entfernung von diesem Bezugspunkt gemessen werden. Beispielsweise ist das auf ein Objekt einwirkende Moment der Kraft, das oft als Drehmoment bezeichnet wird, das Produkt der Kraft und des Abstands von einem Referenzpunkt, wie im folgenden Beispiel.

Bildbeschreibung hier eingeben

dωdt=α,dθdt=ωθ

β(x;α,β)={xα1(1x)β1B(α,β)0<x<10True,
B(α,β)=Γ(α)Γ(β)Γ(α+β)Γ(.)Γ(z)=0xz1exdx

zxx,y

μ=01rβ(r;α,β)dr=αα+β,
β(r;2,2)μ=12Bildbeschreibung hier eingeben

0r12r4

rz

σ2=01(rμ)2β(r;α,β)dr=αβ(α+β)2(α+β+1),
β(r;2,2)I=σ2=120I

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nth

01(rμ)nβ(r;α,β)dr.
nth

Was ist, wenn wir rückwärts rechnen wollen, das heißt, ein 3D-Volumenobjekt nehmen und es in eine Wahrscheinlichkeitsfunktion umwandeln? Dann wird es etwas kniffliger. Nehmen wir zum Beispiel einen Torus . Bildbeschreibung hier eingeben

rz

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Iσ2I=τaτa

Carl
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Der Zusammenhang zwischen Momenten und Ableitungen ist unklar. (Es existiert definitiv, aber die Beziehung wird normalerweise durch die Fourier-Transformation aufgedeckt.) Können Sie explizit zeigen, wie und warum Momente als Ableitungen interpretiert werden können? Wie funktioniert das?
whuber
@whuber Später, in der Zwischenzeit siehe Link oben, zeigt es ||.
Carl
Danke. Ich sehe diese Seite und bekomme einen Eindruck von dem, worauf Sie sich beziehen, aber der Zusammenhang mit Momenten einer Verteilung ist nicht klar. Ich bin fasziniert und freue mich auf Ihre weitere Ausarbeitung dieser Idee.
whuber
@whuber Schau mal vorbei und schau, ob du damit einverstanden bist.
Carl
2
xx=eiqq