Invarianz der Korrelation zur linearen Transformation:

Dies ist tatsächlich eines der Probleme in Gujaratis 4. Ausgabe von Basic Econometrics (Q3.11) und besagt, dass der Korrelationskoeffizient in Bezug auf die Änderung von Ursprung und Maßstab, dh unveränderlich ist. = corr ( X , Y ) wobei a , b , c , d beliebige Konstanten sind.

$$\text{corr}(aX+b, cY+d) = \text{corr}(X,Y)$$ $a$$b$$c$$d$

Meine Hauptfrage lautet jedoch: Sei und Y gepaarte Beobachtungen und nehme an, dass X und Y positiv korreliert sind, dh corr ( X , Y ) > 0 . Ich weiß, dass corr ( - X , Y ) aufgrund der Intuition negativ wäre. Wenn wir jedoch a = - 1 , b = 0 , c = 1 , d = 0 nehmen , folgt corr ( $X$$Y$$X$$Y$$\text{corr}(X,Y)>0$$\text{corr}(-X,Y)$$a=-1, b=0, c=1, d=0$ was keinen Sinn ergibt.

$$\text{corr}(-X,Y) = \text{corr}(X,Y) >0$$

Ich würde mich freuen, wenn jemand auf die Lücke hinweisen kann. Vielen Dank.

$$\text{corr}(X,Y)=\frac{\text{cov}(X,Y)}{\text{var}(X)^{1/2}\,\text{var}(Y)^{1/2}}$$ $$\text{cov}(aX+b,cY+d)=ac\,\text{cov}(X,Y)$$ $$\text{corr}(aX+b, cY+d) = \text{corr}(X,Y)$$ $a$$c$$ac>0$