Wie man den Mittelwert und die Varianz von a ableitet

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Wie kann ich den Mittelwert und die Varianz eines verkürzten Poisson ableiten? Hier ist der Grenzwert, so dass nur Werte zulässig sind, die streng größer als sind, dh die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion istkkk

pj=qk- -1λje- -λ/.j!,j=k+1,k+2,

wobei eine ganze Zahl ist, ein Parameter ist und.k0λ>0qk=1- -ich=0kλiche- -λ/.ich!

cath
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Dies geschieht auf die gleiche Weise, wie Sie den Mittelwert und die Varianz für die Poisson-Verteilung ableiten würden. Alles, was sich ändert, ist der Startwert der Summierungen (von anstelle von ). k+10
whuber
Ich kann die Antwort online nicht finden. Was ist die geschlossene Lösung?
Kath.

Antworten:

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Ableitung des Mittelwerts

Hier ist die hässliche Brute-Force-Methode. Denken Sie daran, dass der Mittelwert vonX.Poisson(λ) kann wie folgt gefunden werden:

E.(X.)=x=0xpx=x=0x(λxe- -λx!)

Beachten Sie insbesondere, dass die x=0 term leistet keinen Beitrag zu dieser Summe und kann daher fallengelassen werden (wir beginnen die Summe bei x=1 stattdessen) und das für x>0 wir können stornieren x und x! verlassen (x- -1)! im Nenner:

E.(X.)=x=1λxe- -λ(x- -1)!

Wir beobachten, dass dieser Summand wieder einem Poisson PMF sehr ähnlich ist, würden es aber vorziehen, ihn zu sehen x- -1 im Exponenten von λ. Wir können dies erreichen, indem wir a berücksichtigenλaußerhalb der Summe. Der Einfachheit halber neu beschrifteny=x- -1::

E.(X.)=λx=1λx- -1e- -λ(x- -1)!=λy=0λye- -λy!=λy=0py=λ(1)=λ

Welchen Unterschied macht das k-geschnittene Verteilung machen? Unsere erste Summe muss erst bei beginnenx=k+1, schon seit px=0 zum xkund der PMF hat einen zusätzlichen Faktor von qk- -1was wir auch außerhalb berücksichtigen können. Wir faktorisieren wieder aλ und setzen y=x- -1 um einen Poisson PMF zu erhalten:

E(X)=x=k+1xpx=qk1x=k+1x(λxeλx!)=λqk1x=k+1λx1eλ(x1)!=λqk1y=kλyeλy!

Diese Summe kommt nicht zur Einheit, sondern y=kλye- -λ/.y!=1- -y=0k- -1λye- -λ/.y!=qk- -1 (wo im besonderen Fall das k=0, Wir verstehen q1=1).

Deshalb erhalten wir:

E(X)=λqk1qk

Ableitung der Varianz

Wir können etwas Ähnliches tun, um die Varianz zu ermitteln, für die es einfacher ist, faktorielle Momente zu verwenden, um beim Trick der faktoriellen Aufhebung zu helfen. Das zweite faktorielle Moment einer Poisson-Verteilung ist:

E((X)2)=E(X(X1))=x=0x(x1)px=x=0x(x1)(λxeλx!)

Ähnlich wie bei der Berechnung des Mittelwerts stellen wir fest, dass die ersten beiden Terme keinen Beitrag zur Summe leisten und vernachlässigt werden können, sodass unser Startindex lautet x=2, und für x2wir können unsere fallende Fakultät aufheben x(x1) mit dem x!im Nenner. Um einen passenden Exponenten der zu erhaltenλ wir faktorisieren λ2und analog zu bevor wir einstellen können y=x2::

(1)E((X)2)=λ2x=2λx2eλ(x2)!=λ2y=0λyeλy!=λ2(1)=λ2

Schon seit E.((X.)2)=E.(X.(X.- -1))=E.(X.2)- -E.(X.) und Var(X.)=E.(X.2)- -E.(X.)2Wir haben die allgemeine Regel Var(X.)=E.((X.)2)+E.(X.)- -E.(X.)2. Speziell für die Poisson-Verteilung erhalten wir daherVar(X.)=λ2+λ- -λ2=λ.

Wieder versuchen wir, diese Analyse für die zu wiederholen k-geschnittene Verteilung.

(2)E((X)2)=x=k+1x(x1)px=qk1x=k+1x(x1)(λxeλx!)

Vorausgesetzt k1können wir die Fakultät wie zuvor stornieren, um zu produzieren:

E((X)2)=λ2qk1x=k+1λx2eλ(x2)!=λ2qk1y=k1λyeλy!=λ2qk2qk

Wir müssen den Fall separat begründen k=0 im (2), seit dem ersten Term der Summe, wo x=1wird dann sein (1)(0)λeλ1! und wir können die Fakultät nicht abbrechen (1)!. Dieser Term ist jedoch Null, sodass wir mit der Summierung um beginnen könnenx=2stattdessen. Dies ist genau die Summe, die wir für die nicht abgeschnittene Poisson-Verteilung in ausgeführt haben(1), so erhalten wir E.(X.)=qk- -1λ2. Wenn wir nehmenq- -2=1 dann können wir verwenden λ2qk- -2/.qk zum k=0 ebenso gut wie k1;; Es besteht keine Notwendigkeit zu behandelnk=0 als Sonderfall in unserer endgültigen Formel.

Bewirbt sich Var(X.)=E.((X.)2)+E.(X.)- -E.(X.)2 wieder erhalten wir:

Var(X.)=λ2(qk- -2qk- -qk- -12)qk2+λqk- -1qk

Bemerkungen

Wie wir gesehen haben, ist es hilfreich zu definieren qk=1 zum k<0, die in der ursprünglichen Frage nicht ausdrücklich behandelt wurde. Es ist beruhigend, diese Einstellung zu entdeckenk=- -1In unseren Formeln ermitteln wir den Mittelwert und die Varianz des nicht abgeschnittenen Poisson. Die Methode der faktoriellen Momente eignet sich gut für höhere Momente. für den unbeschnittenen Poisson haben wirE.((X.)r)=λr. Es gibt komplexere Methoden, aber ich wollte einen Ansatz vorstellen, der nur davon ausgeht, dass der Leser mit den grundlegenden Mechanismen der Mittelwert- und Varianzberechnung vertraut ist.


Eine schnelle numerische Simulation in R

k <- 10
lambda <- 3
n <- 30 #highest index to go up to
qk <- function(k) {1 - ppois(k, lambda=lambda)}
pj <- sapply(1:n, function(x) {
  ifelse(x > k, qk(k)^(-1) * dpois(x, lambda=lambda), 0)})

> sum(pj) #verify total probability comes to 1
[1] 1
> sum(pj * 1:n) #simulated mean
[1] 11.31388
> lambda * qk(k-1) / qk(k) #mean from formula
[1] 11.31388
> sum(pj * (1:n)^2) - sum(pj * 1:n)^2 #simulated variance
[1] 0.3904626
> lambda^2 * (qk(k-2)*qk(k) - qk(k-1)^2) / qk(k)^2 + lambda * qk(k-1) / qk(k) #variance from formula
[1] 0.3904626
Silberfisch
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Dies sollte mehr positive Stimmen haben.
Astrid