Wie führt man einen Student-T-Test durch, bei dem nur Stichprobengröße, Stichprobenmittelwert und Bevölkerungsmittelwert bekannt sind?

Der Test des Schülers erfordert die Standardabweichung der Stichprobe . Wie berechne ich jedoch für wenn nur die Stichprobengröße und der Stichprobenmittelwert bekannt sind?s $t$$s$$s$

Wenn beispielsweise die Stichprobengröße und der Durchschnittswert beträgt , werde ich versuchen, eine Liste mit identischen Stichproben mit jeweils Werten zu erstellen . Erwartungsgemäß beträgt die Standardabweichung der Stichprobe . Dies erzeugt ein Problem beim Teilen durch Null im Test.112 49 112 0 $49$$112$$49$$112$$0$$t$

ZUSÄTZLICHE DATEN:
Das Durchschnittseinkommen der Arbeiter der ACME North Factory beträgt . Es wird berichtet, dass eine Zufallsstichprobe von Arbeitern in der ACME South Factory ein Jahreseinkommen von . Ist dieser Unterschied statistisch signifikant?$\$200$$49$$\$112$

Habe ich Recht, wenn ich sage, dass der Bevölkerungsdurchschnitt ?$\$200$

Dies mag viele überraschen, aber um dieses Problem zu lösen, müssen Sie nicht unbedingt s schätzen . Tatsächlich müssen Sie nichts über die Verbreitung der Daten wissen (obwohl das natürlich hilfreich wäre). Beispielsweise beschreiben Wall, Boen und Tweedie in einem Artikel von 2001, wie ein endliches Konfidenzintervall für den Mittelwert einer unimodalen Verteilung basierend auf einer einzelnen Ziehung ermittelt wird.

Im vorliegenden Fall haben wir einige Grundlagen, um den Stichprobenmittelwert von 112 als ein Unentschieden aus einer annähernd normalen Verteilung zu betrachten (dh der Stichprobenverteilung des Durchschnitts einer einfachen Zufallsstichprobe von 49 Gehältern). Wir gehen implizit davon aus, dass es eine relativ große Anzahl von Fabrikarbeitern gibt und dass ihre Gehaltsverteilung nicht so verzerrt oder multimodal ist, dass der zentrale Grenzwertsatz funktionsunfähig wird. Dann reicht ein konservativer 90% CI für den Mittelwert nach oben bis

Eindeutige Erfassung des wahren Mittelwerts von 200. (Siehe Formel 3 von Wall et al .) Angesichts der begrenzten verfügbaren Informationen und der hier getroffenen Annahmen können wir daher nicht den Schluss ziehen, dass sich 112 "signifikant" von 200 unterscheidet.

Referenz: "Ein effektives Konfidenzintervall für den Mittelwert mit Stichproben der Größe eins und zwei." Der amerikanische Statistiker, Mai 2001, Vol. 55, Nr. 2: S. 102-105. ( pdf )

Dies scheint eine leicht erfundene Frage zu sein. 49 ist ein genaues Quadrat von 7. Der Wert einer t-Verteilung mit 48 DoF für einen zweiseitigen Test von p <0,05 ist sehr nahe 2 (2,01).

Wir lehnen die Nullhypothese der Mittelwertgleichheit ab, wenn | sample_mean - popn_mean | > 2 * StdError, dh 200-112> 2 * SE, also SE <44, dh SD <7 * 44 = 308.

Ohne negative Löhne wäre eine Normalverteilung mit einem Mittelwert von 112 und einer Standardabweichung von 308 (oder mehr) nicht möglich.

Unter der Voraussetzung, dass die Löhne unten begrenzt sind, sind sie wahrscheinlich ungleichmäßig, sodass eine logarithmische Normalverteilung angemessener wäre, es jedoch weiterhin sehr unterschiedliche Löhne erfordern würde, um ein p <0,05 bei einem t-Test zu vermeiden.

Angenommen, es gibt 999 Arbeiter in der Fabrik von ACME Nord, die jeweils 112 verdienen, und 1 CEO, der 88112 verdient. Das Durchschnittsgehalt der Bevölkerung beträgt Die Wahrscheinlichkeit, den CEO aus einer Stichprobe von zu ziehen 49 Mitarbeiter in der Fabrik sind (dies ergibt sich aus der hypergeometrischen Verteilung). Mit 95% igem Vertrauen ergibt sich ein Durchschnittswert der Bevölkerung von 112. Durch Anpassen des Verhältnisses von Arbeitnehmern / CEOs und des Gehalts von Als CEO können wir es willkürlich unwahrscheinlich machen, dass eine Stichprobe von 49 Mitarbeitern einen CEO zieht, während der Bevölkerungsmittelwert auf 200 und der Stichprobenmittelwert auf 112 festgelegt wird. Ohne einige Annahmen über die zugrunde liegende Verteilung können Sie also keine ziehen Rückschlüsse auf die Bevölkerung bedeuten.49 / 1000 < $\mu = 0.999 * 112 + 0.001 * 88112 = 200.$$49 / 1000 < 0.05$

Ich nehme an, Sie beziehen sich auf einen Test mit einer Stichprobe. Ziel ist es, den Mittelwert Ihrer Stichprobe mit einem hypothetischen Mittelwert zu vergleichen. Dann wird ein P-Wert berechnet (vorausgesetzt, Ihre Population ist Gauß), der diese Frage beantwortet: Wenn der Populationsmittelwert wirklich der hypothetische Wert wäre, wie unwahrscheinlich wäre es, eine Stichprobe zu ziehen, deren Mittelwert so weit (oder weiter) von diesem Wert entfernt ist hast du beobachtet? Natürlich hängt die Antwort auf diese Frage von der Stichprobengröße ab. Es kommt aber auch auf die Variabilität an. Wenn Ihre Daten eine enorme Streuung aufweisen, stimmen sie mit einem breiten Spektrum an Bevölkerungsmitteln überein. Wenn Ihre Daten wirklich knapp sind, stimmen sie mit einem kleineren Bereich von Bevölkerungsmitteln überein.