Gewinnchancen leicht gemacht

Ich habe einige Probleme beim Verstehen von Gewinnchancen und möchte nur eine grundlegende Erklärung für deren Interpretation.

Ich habe verschiedene Posts gefunden, die sich auf Quoten beziehen, aber die meisten sind komplexer als das, was ich zu verstehen versuche. Hier ist ein Beispiel, wie ich Quoten interpretiere: Wenn die Quoten eines Ereignisses 3 zu 1 sind, wird das Ereignis dreimal für jedes Mal, wenn es nicht passiert, durchgeführt. Ich weiß nicht, ob diese Interpretation richtig wäre. Eine Anleitung und weitere Beispiele zur Interpretation von Gewinnchancen sind daher sehr willkommen.

Auf einem anderen Thread gibt es eine viel umfassendere Antwort von @gung , die sich auch mit verwandten technischen Themen wie der Odds Ratio befasst, aber ich bleibe beim vorliegenden Thema: Wie interpretiere ich Odds und insbesondere die Formulierung " zu b" ". Als Anfängerfrage lohnt es sich zu überlegen, wie "Chancen" in der Alltagssprache ausgedrückt werden (insbesondere in der Wettsprache) und was Chancen für einen Statistiker bedeuten, da die Diskrepanzen zwischen beiden für die Lernenden problematisch sind.$a$$b$

Für Quoten, die von einem Statistiker ausgedrückt werden , ist Ihre Behauptung korrekt. Angenommen, eine Tüte enthält vier Token, von denen drei und einer braun sind , und ein Token wird nach dem Zufallsprinzip ausgewählt. Die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei dem ausgewählten Token um Aquamarin handelt, beträgt 3 von 4, dh $\color{aquamarine}{\text{aquamarine}}$$\color{brown}{\text{brown}}$ , lesen Sie oft "3 in 4". Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen würde dieQuotefür Aquamarin als die Anzahl der günstigen Ergebnisse (3) dividiert durch die Anzahl der ungünstigen Ergebnisse (1), die3, berechnet$\frac{3}{4}$, oft alsdrei zu einsoder nur als die Zahl "drei"gelesen. Allgemeiner könnte man den Bruchteil von "günstigen Ergebnissen gegenüber ungünstigen Ergebnissen" nehmen und sowohl Zähler als auch Nenner durch die Gesamtzahl der Ergebnisse streichen (dividieren), um "die Wahrscheinlichkeit eines günstigen Ergebnisses gegenüber der Wahrscheinlichkeit eines ungünstigen Ergebnisses" zu erhalten, woraus eine kleine Algebra ergibt:$\frac{3}{1} = 3$$\color{aquamarine}{\text{three}}\text{ to }\color{brown}{\text{one}}$

$$\text{Odds} = \frac{p}{1-p} \implies p = \frac{\text{Odds}}{1 + \text{Odds}}$$

Quoten, wie sie von einem Buchmacher ausgedrückt werden, werden normalerweise entweder als "Quoten gegen" oder "Quoten gegen" angegeben, und die Art und Weise, wie sie geschrieben werden, scheint eine häufige Ursache für Verwirrung zu sein. Bei so genannten britischen Quoten , Teilquoten oder traditionellen Quoten wird die Quote für Aquamarin mit "3/1 on" oder "3-1 on" angegeben und mit . * Für einen Spieler ist dies die Tatsache "Odds on" gibt an, dass ein Einsatz von 3 £ auf Aquamarine bei Erfolg 1 £ Gewinn einbringt (sie erhalten tatsächlich 4 £, von denen 3 £ einfach die Rückgabe des ursprünglichen Einsatzes sind), während ein fehlgeschlagener Einsatz zum Verlust von führt £ 3 Einsatz. Wir können sehen, dass dies " faire Chancen" sind$\color{aquamarine}{\text{three}}\text{ to }\color{brown}{\text{one}}\text{ on}$"Weil der Spieler drei Chancen hat, £ 1 zu gewinnen, und eine Chance, £ 3 zu verlieren, gibt es im Durchschnitt keinen erwarteten Gewinn oder Verlust. Bisher gibt es so wenig Unstimmigkeiten:" Gewinnchancen "sind einfach die" Gewinnchancen ", die bevorzugt werden von Statistikern.

Für Ereignisse mit einer Wahrscheinlichkeit von 50%, wie zum Beispiel Köpfe auf einen Münzwurf - zwei gleich wahrscheinliche Ergebnisse von Erfolg oder Misserfolg - würde ein Statistiker sagen, dass die Chancen "eins zu eins" sind, oder einfach1,wohingegen ein fairer Buchmacher Bruchchancen von 1/1 (gelesen als "Gleiche") geben würde. Also auch hier keine Probleme; Wenn die Wahrscheinlichkeit jedoch unter 50% fällt, setzt der Buchmacher das Zitieren der größeren Zahl im Verhältnis vor der kleineren fort.$\frac{1}{1}$$1$

Betrachten wir ein Rennen , in dem alle vier Pferde (sagen wir mal F oinavon , G regalach , M auf Mome und T ipperary Tim ) gleich wahrscheinlich zu gewinnen: dann in Bezug auf die Wahrscheinlichkeiten , würden wir sagen , jeder hatte eine „1 in 4“ oder 0,25 Chance auf Sieg. Wie hoch wären die fairen Quoten für eine Wette auf beispielsweise Foinavon? Es gibt nur ein günstiges Ergebnis (Sieg für F) gegenüber drei ungünstigen Ergebnissen (Sieg für G, M oder T), daher würde ein Statistiker die Gewinnchancen als "1 bis 3" oder numerisch als . Ein Buchmacher, der britische Gewinnchancen verwendet, würde die Gewinnchancen jedoch als "3 zu 1 gegen" betrachten und sie einfach als "3/1" oder 3-1 "schreiben (beide lesen" drei zu eins ";das" gegen "ist implizit und geht unausgesprochenFür einen Spieler.), „Chancen gegen“ bedeutet eine BeteiligungHöhe von £ 1 zurückkehren würden £ 3 Gewinn wennerfolgreich(sie erhalten tatsächlich £ 4, aber £ 1 dieser die Rückkehr des ursprünglichen Einsatzes ist)währendwenn nicht erfolgreich sie Verlieren Sie den Einsatz von £ 1. Der Spieler hat drei Chancen, £ 1 zu verlieren, und eine Chance, £ 3 zu gewinnen. Es wird also wieder kein Gewinn / Verlust erwartet und die Gewinnchancen sind fair. Leider "Gewinnchancen gegen" (die übliche Form von Gewinnchancen) ) entspricht nicht den "Gewinnchancen" eines Statistikers.$\frac{1}{3}$

Jedes Pferd in unserem hypothetischen Rennen erreicht Ruhm durch das einst die Grand National mit einer Quote von 100/1 zu gewinnen: da diese hoch waren ( „long“) Chancen gegen sie waren „ Totalen “ als extrem unwahrscheinlich , zu gewinnen, und ihre Hintermänner waren ansehnlich Belohnt mit einem Gewinn von £ 100 pro eingesetztem Pfund. Wenn wir so tun, als ob die Quoten der Buchmacher die fairen Quoten wären (was die Überrundung des Buchmachers oder "Vig" ignorieren würde ), gab es das Gefühl, dass es 100 Wege gibt, die das Pferd für jeden Weg verlieren könnte, den das Pferd gewinnen könnte, also die implizierte Wahrscheinlichkeit der Erfolg war . Wenn einStatistikerbehauptet, ein Ereignis habe eine Quote von "100 zu 1", ist dies eine Behauptung, dass das Ereignissehr wahrscheinlich ist(mit einer Wahrscheinlichkeit von$\frac{1}{101}$ ).$\frac{100}{101}$

Wenn ein Laie in Ihrem Publikum aus einem Land kommt, in dem die Buchmacher Spitzenquoten verwenden und diese regelmäßig in den Medien zitieren (z. B. "Jeremy Corbyn soll 100: 1 schlagen, um Vorsitzender der britischen Labour Party zu werden", The Guardian , 11. September 2015; "11 Millionen zu eins: Vierlingskälber, geboren in Südaustralien", Sydney Morning Herald , 30. Juli 2015), und dann Quoten in der Form " zu b " anzugeben, wird mit ziemlicher Sicherheit Verwirrung stiften.$a$$b$

$a$$b$

• Die Gewinnchancen eines Statistikers entsprechen den Gewinnchancen eines Buchmachers. Wenn Sie es gewohnt sind, "gegen" zu wetten, können die Chancen eines Statistikers "falsch herum" erscheinen. Zum Beispiel bedeutet "10 zu 1" ein sehr wahrscheinliches Ereignis und "1000 zu 1" ein sehr wahrscheinliches!
• $\frac{2}{5}$
• Während Buchmacher es vorziehen, Quoten als Verhältnis von ganzen Zahlen anzugeben, vereinfachen ** Statistiker ihre Quoten häufig in die Form "etwas zu eins", selbst wenn dies eine Dezimalzahl einführt (z. B. "5 zu 2" wird zu "2,5 zu 1"). .
• $\frac{7}{9}$
• Auf dieser Skala stellen Chancen von Null eine Unmöglichkeit dar; Quoten zwischen 0 und 1 bedeuten eine Chance von weniger als 1. Quoten von 1 zeigen eine 50% ige Chance; Quoten über 1 bedeuten, dass das Ereignis mit größerer Wahrscheinlichkeit eintrifft als nicht. Ein bestimmtes Ereignis hätte unendlich viele Chancen.

Mathematisch haben wir

$$\text{Odds}_\text{statistician} = \text{Odds on}_\text{British}; \quad \text{Odds}_\text{statistician} = \frac{1}{\text{Odds against}_\text{British}}$$

$1.33$$2.00$$4.00$$\text{Odds}_\text{European} = \frac{1}{p}$

$$\text{Odds}_\text{statistician} = \frac{p}{1-p} = \frac{1}{p^{-1}-1} = \frac{1}{\text{Odds}_\text{European}-1}$$

$\text{Odds}_\text{European} = \text{Odds against}_\text{British} + 1$

$1.50$$6.00$$\frac{1}{6}$

$1.00$$2.00$$\infty$

$\$100$$\$300$$\$100$$\$100$$\$300$$\$100$

$$\text{Odds}_\text{statistician} = \begin{cases} \frac{|\text{Moneyline}|}{100} & \text{if Moneyline} < 0 \\[5pt] \frac{100}{\text{Moneyline}} &\text{if Moneyline} > 0 \end{cases}$$

---

Ich weiß, dass sich ein Großteil dieser Antwort eher auf Wetten und Auszahlungen als auf Statistiken bezieht, aber ich habe festgestellt, dass der alltägliche Gebrauch von "Gewinnchancen" so stark von der technischen Definition des Statistikers abweicht, dass ein gründlicher Vergleich Verwirrung stiften könnte (beides nicht -technische Spieler und Statistiker, die kein Glücksspiel betreiben). Es gibt natürlich tiefe historische und philosophische Verbindungen zwischen Wetten und Statistiken. Das Problem der Punkte betraf die gerechte Aufteilung des Preistopfs in einem unterbrochenen Glücksspiel und hatte seit dem Mittelalter zu Diskussionen geführt. Bei Antoine Gombaud stellte Chevalier de Méré 1654 eine Version des Problems, die spätere Korrespondenz von Blaise Pascal und Pierre de Fermatzu diesem Thema wurden die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie gelegt. In jüngerer Zeit untersuchten Frank Ramsey (in den 1920er Jahren) und Bruno de Finetti (in den 1930er Jahren) die Kohärenz von Wetten (im Zusammenhang mit dem Glücksspielphänomen eines niederländischen Buches ) als Rechtfertigung für die Bayes'sche Wahrscheinlichkeit: ob die subjektiven Wahrscheinlichkeiten oder Grade eines Agenten Glaube gehorche nicht den Axiomen der Wahrscheinlichkeit , dann sind sie inkohärent und ein niederländisches Buch kann gegen den Agenten angefertigt werden und sie einem gewissen Verlust aussetzen. Die Stanford Encyclopedia of Philosophy enthält einen Artikel über das "Dutch Book argument" .

---

$*$

$**$