Wenn und , ist ?

Dies sind keine Hausaufgaben.

Sei $X$ eine Zufallsvariable. Wenn $\mathbb{E}[X] = k \in \mathbb{R}$ und $\text{Var}[X] = 0$ , folgt dann $\Pr\left(X = k\right) = 1$ ?

Intuitiv scheint dies offensichtlich, aber ich bin mir nicht sicher, wie ich es beweisen würde. Ich weiß sicher, dass aus den Annahmen \ mathbb {E} [X ^ 2] = k ^ 2 folgt $\mathbb{E}[X^2] = k^2$. Also

$$\left(\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x)\right)^2 = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)\text{.}$$ Das scheint mich nirgendwohin zu führen. Ich könnte versuchen $$\text{Var}[X] = \mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right]\text{.}$$ Jetzt seit $\left(X - k\right)^2 \geq 0$ folgt, dass $\mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right] \geq 0$ ebenfalls.

Aber wenn ich Gleichheit verwenden würde,

$$\mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right] = 0$$ dann ist mein Bauchgefühl, dass $\left(X - k\right)^2 \equiv 0$ , so dass $X \equiv k$ .

Woher soll ich das wissen? Ich nehme einen Beweis durch Widerspruch an.

Wenn, im Gegenteil, $X \neq k$ für alle $X$ , dann $(X-k)^2 > 0$ , und $\mathbb{E}[(X-k)^2] > 0$ für alle $X$ . Wir haben einen Widerspruch, also $X \equiv k$ .

Ist mein Beweis gut - und wenn ja, gibt es vielleicht einen besseren Weg, um diese Behauptung zu beweisen?

Hier ist ein maßtheoretischer Beweis, der die anderen ergänzt und nur Definitionen verwendet. Wir arbeiten an einem Wahrscheinlichkeitsraum . Beachten Sie, dass und betrachten Sie das Integral . Angenommen, für einige existiert so dass auf und . Dann approximiert von unten, also durch die Standarddefinition von als das Supremum von Integralen einfacher Funktionen, die von unten approximieren, $(\Omega, \mathcal F, P)$$Y:=(X - \mathbb EX)^2 \geq 0$$\mathbb EY :=\int Y(\omega) P(d\omega)$$\epsilon>0$$A\in \mathcal F$$Y>\epsilon$$A$$P(A)>0$$\epsilon I_A$$Y$$\mathbb E Y$

$$\mathbb EY\geq \int\epsilon I_AP(d\omega) = \epsilon P(A)>0,$$ was ein Widerspruch ist. Somit ist , . Getan.$\forall \epsilon>0$$P\left(\{\omega : Y>\epsilon \}\right) = 0$

Beweisen Sie dies durch Widerspruch. Durch die Definition der Varianz und Ihrer Annahmen haben Sie

$$0 =\text{Var}X = \int_\mathbb{R} (x-k)^2\,f(x)\,dx,$$

wobei die Wahrscheinlichkeitsdichte von . Beachten Sie, dass sowohl als auch sind.$f$$X$$(x-k)^2$$f(x)$

Wenn nun , dann$P(X=k)<1$

$$U:=\big(\mathbb{R}\setminus\{k\}\big)\cap f^{-1}\big(]0,\infty[\big)$$

hat Maß größer als Null ist , und . Aber dann$k\notin U$

$$\int_U (x-k)^2\,f(x)\,dx > 0,$$

(Einige Argumente im Stil könnten hier enthalten sein) und daher$\epsilon$

$$0 =\text{Var}X = \int_\mathbb{R} (x-k)^2\,f(x)\,dx \geq \int_U (x-k)^2\,f(x)\,dx > 0,$$

und dein Widerspruch.

Was ist ? Ist das dasselbe wie als?$X \equiv k$$X = k$

ETA: Iirc, äquiv.$X \equiv k \iff X(\omega) = k \ \forall \ \omega \in \Omega \to X=k \ \text{a.s.}$

Jedenfalls ist es offensichtlich, dass

$$(X-E[X])^2 \ge 0$$

Annehmen

$$E[X-E[X])^2] = 0$$

Dann

$$(X-E[X])^2 = 0 \ \text{a.s.}$$

Der letzte Schritt, von dem ich glaube, beinhaltet die Kontinuität der Wahrscheinlichkeit ... oder was Sie getan haben (Sie haben Recht).

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Theres ist auch Chebyshevs Ungleichung :

$\forall \epsilon > 0$ ,

$$P(|X-k| \ge \epsilon) \le \frac{0}{\epsilon^2} = 0$$

$$P(|X-k| \ge \epsilon) = 0$$

$$\to P(|X-k| < \epsilon) = 1$$

Wieder gut reden .

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Übrigens, warum ist es das?

$$\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x) = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)$$

?

Es scheint mir, dass während$LHS = k$$RHS = k^2$