Auftragsstatistik transformieren

Angenommen, die Zufallsvariablen und sind unabhängig und -verteilt. Zeigen Sie, dass ein Verteilung. $X_1, ... , X_n$ $Y_1, ..., Y_n$ $U(0,a)$ $Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$ $\text{Exp}(1)$

Ich habe dieses Problem durch Setzen von $\{X_1,...,X_n,Y_1,...Y_n\} = \{Z_1,...,Z_n\}$ Dann ist $\max(Y_n,X_n)= Z_{(2n)}$ würde als $(\frac{z}{a})^{2n}$ und $\min(Y_n,X_n)= Z_{(1)}$ als $1 - (1 - \frac{z}{a})^{2n}$ Die Dichten können leicht gefunden werden als $f_{Z_{1}}(z) = (2n)(1-\frac{z}{a})^{2n-1}\frac{1}{a}$ und $f_{Z_{(2n)}}(z) = (2n)(\frac{z}{a})^{2n-1} \frac{1}{a}$

Hier fällt es mir schwer zu wissen, wohin ich als nächstes gehen soll, nachdem diese berechnet wurden. Ich denke, es hat etwas mit einer Transformation zu tun, aber ich bin mir nicht sicher ...

self-study data-transformation order-statistics Susan
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Sicherlich müssen Sie zusätzlich davon ausgehen, dass nicht nur

X_{i}

$X_i$ und

Y_{i}

$Y_i$ iid, sondern auch

X_{i}

$X_i$ unabhängig von

Y_{j}

$Y_j$ . Haben Sie vor diesem

gedacht, direkt mit dem

\log (Z_{i})

$\log(Z_i)$ ?

whuber

@whuber mein Gedanke aus Ihrem Kommentar wäre, eine Transformation einzurichten, in der ich die Dichte von n * log (Z ) löse ?

_{i}

$_i$

Susan

Ich habe ein wenig neu formatiert (insbesondere und in und ), aber wenn es Ihnen nicht gefällt, können Sie zur vorherigen Version zurückkehren (indem Sie auf den Link "vor <x> bearbeitet" klicken) über meinem Gravatar am Ende Ihres Beitrags) und klicken Sie dann auf den Link "Rollback" über Ihrer vorherigen Version.

l o g

$log$

m i n

$min$

\log

$\log$

min

$\min$

Glen_b -State Monica

Susan, Sie scheinen die Frage falsch interpretiert / falsch verstanden zu haben. Die Frage sucht das Verhältnis von Der Nenner bezieht sich auf : wobei die Statistik maximaler Ordnung der s ist und die Statistik maximaler Ordnung des s. Mit anderen Worten, sucht min (maxX, maxY), NICHT das Minimum aller s und s, sodass Sie Ihren Z-Trick nicht verwenden können um alle X- und Y-Werte zu reduzieren / zu kombinieren. .......

\frac{max (Y_{(n)}, X_{(n)})}{min (Y_{(n)}, X_{(n)})}

$\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$

min (Y_{(n)}, X_{(n)})

$\min(Y_{(n)},X_{(n)})$

Y_{(n)}

$Y_{(n)}$

Y

$Y$

X_{(n)}

$X_{(n)}$

X

$X$

min (Y_{(n)}, X_{(n)})

${\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$

X

$X$

Y

$Y$

Wolfies

In jedem Fall und als separate Angelegenheit macht es keinen Sinn (wie Sie es getan haben), die Dichte von und separat die Dichte von berechnen , da die unterschiedlichen Ordnungsstatistiken dies nicht sind im Allgemeinen unabhängig. Um das Verhältnis von , müsste man zuerst das gemeinsame PDF von , wenn dies das Problem wäre zur Hand (was es nicht ist).

Z_{(1)}

$Z_{(1)}$

Z_{(2 n)}

$Z_{(2n)}$

Z_{(2 n)} / Z_{(1)}

$Z_{(2n)}/Z_{(1)}$

(Z_{(1)}, Z_{(2 n)})

$(Z_{(1)},Z_{(2n)})$

Wolfies

Antworten:

Dieses Problem kann allein aus den Definitionen gelöst werden: Die einzige erweiterte Berechnung ist das Integral eines Monoms.

Vorbemerkungen

Lassen Sie uns durchgehend mit den Variablen und : Dies ändert , macht jedoch iid mit gleichmäßigen Verteilungen, wodurch alle störenden Erscheinungen von in den Berechnungen eliminiert werden. Wir können also ohne Verlust der Allgemeinheit annehmen . $X_i/a$ $Y_i/a$ $Z_n$ $(X_1, \ldots, Y_n)$ $(0,1)$ $a$ $a=1$

Beachten Sie, dass die Unabhängigkeit des und ihre gleichmäßige Verteilung für jede Zahl impliziert, für die , $Y_i$ $y$ $0\le y \le 1$

Pr (y \geq {Y.}_{(n)}) = Pr (y \geq {Y.}_{1}, \dots, y \geq {Y.}_{n}) = Pr (y \geq {Y.}_{1}) \dots Pr (y \geq {Y.}_{n}) = y^{n},

$\Pr(y \ge Y_{(n)}) = \Pr(y \ge Y_1 , \ldots, y \ge Y_n) = \Pr(y \ge Y_1)\cdots \Pr(y \ge Y_n) = y^n,$

mit einem identischen Ergebnis für . Zum späteren Nachschlagen können wir damit rechnen $X_{(n)}$

E. (2 {X.}_{(n)}^{n}) = \int_{0}^{1} 2 x^{n} d (x^{n}) = \int_{0}^{1} 2 n x^{2 n - - 1} d x = 1.

$\mathbb{E}(2X_{(n)}^n) = \int_0^1 2x^n\mathrm{d}(x^n) = \int_0^1 2nx^{2n-1}\mathrm{d}x = 1.$

Lösung

Sei eine positive reelle Zahl. Um die Verteilung von , ersetzen Sie seine Definition und vereinfachen Sie die resultierende Ungleichung: $t$ $Z_n$

\begin{aligned} Pr (Z_{n} > t) & = Pr (Z_{n} / n > t / n) = Pr (\exp (Z_{n} / n) > e^{t / n}) \\ = Pr (\frac{max (X_{(n)}, Y_{(n)})}{min (X_{(n)}, Y_{(n)})} > e^{t / n}) \\ = Pr (e^{- t / n} max (X_{(n)}, Y_{(n)}) > min (X_{(n)}, Y_{(n)})) . \end{aligned}

$\eqalign{ \Pr(Z_n \gt t) &= \Pr(Z_n / n \gt t/n) = \Pr\left(\exp(Z_n/n) \gt e^{t/n}\right) \\ &=\Pr\left(\frac{\max(X_{(n)}, Y_{(n)})}{\min(X_{(n)}, Y_{(n)})} \gt e^{t/n}\right) \\ &= \Pr\left(e^{-t/n}{\max(X_{(n)}, Y_{(n)})} \gt {\min(X_{(n)}, Y_{(n)})}\right). }$

Dieses Ereignis gliedert sich in zwei gleichwahrscheinliche Fälle, je nachdem, ob oder der kleinere der beiden ist (und ihr Schnittpunkt mit einer Wahrscheinlichkeit von Null kann ignoriert werden). Daher müssen wir nur die Wahrscheinlichkeit eines dieser Fälle berechnen (sagen wir, wo kleiner ist) und sie verdoppeln. Da , , können wir (wenn wir die Rolle spielen lassen von ) um die Berechnungen im vorläufigen Abschnitt anzuwenden: $X_{(n)}$ $Y_{(n)}$ $Y_{(n)}$ $t\ge 0$ $0 \le e^{-t/n}X_{(n)} \le 1$ $e^{-t/n}X_{(n)}$ $y$

Pr (Z_{n} > t) = 2 Pr (e^{- t / n} X_{(n)} > Y_{(n)}) = 2 E [{(e^{- t / n} X_{(n)})}^{n}] = e^{- t} E [2 X_{(n)}^{n}] = e^{- t} .

$\Pr(Z_n \gt t) =2\Pr\left(e^{-t/n}X_{(n)} \gt {Y_{(n)}}\right) =2 \mathbb{E}\left[\left(e^{-t/n}{X_{(n)}}\right)^n\right] = e^{-t} \mathbb{E}\left[2{X_{(n)}^n}\right] = e^{-t}.$

Das bedeutet für eine Exp -Verteilung. $Z_n$ $(1)$

whuber
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Ich werde die Lösung skizzieren, hier mit einem Computer-Algebra-System, um die Kleinigkeiten zu erledigen ...

Lösung

Wenn eine Stichprobe der Größe im übergeordneten , lautet das PDF des Stichprobenmaximums: und ähnlich für . $X_1, ... , X_n$ $n$ $X \sim \text{Uniform}(0,a)$

f_{n} (x) = \frac{n}{a^{n}} x^{n - 1}

$f_{n}(x) = \frac{n}{a^n} x^{n-1}$

Y

$Y$

Ansatz 1: Finden Sie das gemeinsame PDF von $(X_{(n)},Y_{(n)})$

Da und unabhängig sind, ist das gemeinsame PDF der 2 Stichprobenmaxima einfach das Produkt der 2 PDFs, sagen wir : $X$ $Y$ $(X_{(n)},Y_{(n)})$ $f_{(n)}(x,y)$

Gegeben ist . Dann wird der CDF von ist ist: $Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$ $Z_n$ $P(Z_n < z)$

Hier verwende ich die ProbFunktion aus dem mathStatica- Paket, damit Mathematica automatisiert. Die Differenzierung des cdf wrt ergibt das pdf von als Standard-Exponential. $z$ $Z_n$

Ansatz 2: Auftragsstatistik

Wir können Auftragsstatistiken verwenden, um die Mechanik des Umgangs mit den Funktionen Max und Min zu umgehen.

Noch einmal: Wenn eine Stichprobe der Größe auf dem übergeordneten , dann ist das PDF des Stichprobenmaximums , sag, : $X_1, ... , X_n$ $n$ $X \sim \text{Uniform}(0,a)$ $W = X_{(n)}$ $f_n(w)$

Die Stichprobenmaxima und sind nur zwei unabhängige Zeichnungen aus dieser Verteilung von ; dh die und Ordnungsstatistiken von (in einer Stichprobe der Größe 2) sind genau das, wonach wir suchen: $X_{(n)}$ $Y_{(n)}$ $W$ $1^{st}$ $2^{nd}$ $W$

$W_{(1)} = \min(Y_{(n)},X_{(n)})$
$W_{(2)} = \max(Y_{(n)},X_{(n)})$

Das gemeinsame PDF von in einer Stichprobe der Größe 2, z. B. , Lautet: $(W_{(1)}, W_{(2)})$ $g(.,.)$

Gegeben ist . Dann wird der CDF von ist ist: $Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$ $Z_n$ $P(Z_n < z)$

Der Vorteil dieses Ansatzes besteht darin, dass die Wahrscheinlichkeitsberechnung nicht mehr die Max / Min-Funktionen umfasst, was die Ableitung (insbesondere von Hand) etwas einfacher ausdrücken kann.

Andere

Wie aus meinem obigen Kommentar hervorgeht, haben Sie die Frage anscheinend falsch interpretiert ...

Wir werden gebeten zu finden:

Z_{n} = n \log \frac{max (Y_{(n)}, X_{(n)})}{min (Y_{(n)}, X_{(n)})}

$Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$

wo der Nenner min (xMax, yMax), ... nicht das Minimum aller 's und ' s. $X$ $Y$

Wölfe
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Nach Ihrer Skizze verstehe ich, wie ich die Frage falsch interpretiert habe. Ich verstehe, wie man das gemeinsame PDF der beiden Stichprobenmaxima berechnet, bin mir aber immer noch nicht sicher, wie wir das Verhältnis von max / min interpretieren sollen.

Susan

Ich habe eine alternative Ableitung mit Bestellstatistiken hinzugefügt, die das Maximum / Min umgeht.

Wolfies

Wenn Sie mit den Protokollen der Daten begonnen hätten, Susan, würden Sie sich eher mit den Unterschieden der Auftragsstatistik als mit den Verhältnissen befassen .

whuber

Ich bin nicht davon überzeugt, dass die Verwendung von Computerformalberechnungen der beste Weg ist, um den Grund zu erklären, warum das Verhältnis eine Exp (1) -Zufallsvariable ist.

Xi'an

Guter Punkt ... außer das OP fragt nicht nach dem Grund ... sondern um zu zeigen, dass es Exp [1] ist. Ich bin mir auch nicht sicher, ob dies Hausaufgaben (oder eine Aufgabe) sind oder nicht ... und das ist tatsächlich ein schöner Vorteil der Verwendung eines Computers: Man liefert die folgenden Schritte, überprüft das Ergebnis, damit man den richtigen Ansatz hat , aber die Mechanik bleibt dem OP überlassen. Es wäre schön, wenn jemand den Vorschlag von @ whuber untersuchen würde, zu Beginn Protokolle zu erstellen.

Wolfies