Problem mit dem Beweis - warum exponentiell geglättete Zeitreihen voreingenommen sind

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Ich arbeite an dem Beweis, warum die exponentielle Glättung ein voreingenommener Schätzer eines linearen Trends ist.

Das Buch versucht, den erwarteten Wert einer exponentiell geglätteten Zeitreihe zu beschreiben. Es ist einer dieser Schritte, denen ich nur schwer folgen kann.

Für unendliche Summen behauptet das Buch, dass Folgendes gilt:

(1λ)t=11(1λ)=1λ
und

(1λ)tt=1λλ2

Der erste Teil, den ich zu verstehen glaube, ist nur die geometrische Summe. Der zweite Term im Zähler geht gegen 0, wenn t gegen unendlich geht.

Diesen zweiten Ausdruck verstehe ich jedoch nicht.

Warum kann der zweite Ausdruck wie folgt geschrieben werden kann als Funktion der geschrieben werden ?tλ

Magnus
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Antworten:

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Da es sich um eine Statistikseite handelt, entwickeln wir eine rein statistische Lösung.

Die erste Formel in der Frage beachtet das richtig

λ+λ(1λ)1+λ(1λ)2+λ(1λ)3+=1,

implizit unter der Annahme von . Für reelle Zahlen zeigt dies als die Summe einer Reihe nicht negativer Werte. Dadurch können wir diese Werte als Wahrscheinlichkeiten betrachten . (Diese bestimmte Anzahl von Zahlen ist eine geometrische Verteilung .)|1λ|<10<λ<11

Was könnten die Wahrscheinlichkeiten sein? Stellen Sie sich eine lange, breite rechteckige Dartscheibe vor. Der eft-Teil, der davon bedeckt , ist rot gefärbt - das möchten Sie treffen -, während der rechte Teil, der den verbleibenden Teil bedeckt , blau gefärbt ist. Sie planen, Pfeile auf dieses Brett zu werfen, bis man rote Zahlen schreibt.λλ1λ

Zahl

Angenommen, Sie sind ein armer Dartschütze, der gerade noch gut genug ist, um sicherzustellen, dass die Darts auf das Brett treffen, aber ansonsten haben Sie keine Kontrolle darüber, wo sie auf dem Brett landen. Lassen Sie " " für die Anzahl der Würfe stehen, die Sie insgesamt ausführen . Gemäß den Axiomen der Wahrscheinlichkeit hat jede Folge von unabhängigen zufälligen Dartwürfen (von denen jeder die gleiche Wahrscheinlichkeit hat, einen Teil der Dartscheibe zu treffen), die mal im Blau und schließlich im Rot landen, eine Chance vontt1t1

(1λ)(1λ)λ=(1λ)t1λ

des Auftretens: Dies ist einfach das Produkt der einzelnen Chancen, für Blau und für Rot. Dies sind die gleichen Wahrscheinlichkeiten wie oben. Per Definition ist die Erwartung der Anzahl von Blautreffern in einer solchen Sequenz die Summe der wahrscheinlichkeitsgewichteten Zählungen von Blautreffern; nämlich,1λλ

λ(1λ)0(0)+λ(1λ)1(1)+λ(1λ)2(2)+=λt=0(1λ)tt.

Bis zu einem Faktor von möchten wir dies berechnen.λ

Das schwache Gesetz der großen Zahlen (das intuitiv offensichtlich ist und erstmals von Jakob Bernoulli im späten 17. Jahrhundert bewiesen wurde) besagt, dass die Erwartung durch wiederholte Durchführung dieses Experiments willkürlich genau erreicht werden kann. Lassen Sie uns dies also tun. Wirf die Pfeile, bis einer im roten Bereich landet. Sei die Zahl, die im Blau landet. Sei die blaue Zahl während des zweiten Versuchs und so weiter bis .b1b2bn

Zahl

In der Abbildung, die die Löcher zeigt, die beim Herausziehen der Pfeile übrig geblieben sind, haben Versuche dazu geführt, dass Pfeile geworfen wurden, von denen im Blau landeten.n=2510075

Die durchschnittliche Anzahl der blauen Treffer in diesen Versuchen beträgt per Definition

1n(b1+b2++bn)=b1+b2++bn1+1++1.

Mit anderen Worten, es ist das Verhältnis der Anzahl der Pfeile, die im Blau landen, zu denen, die im Rot landen. Da die Pfeile jedoch gleichmäßig zufällig landen, muss sich dieses Verhältnis im Grenzfall dem Verhältnis von blauen zu roten Bereichen annähern, nämlich . Somit(1λ):λ

λt=0(1λ)tt=1λλ.

Das Teilen beider Seiten durch gibt die Antwort!λ


Diese Frage könnte auch von einigen elementaren mathematischen Antworten profitieren. Beachten Sie zu diesem Zweck, wann immer , die Serie|λ1|<1

S(λ)=t=0(1λ)tt=(1λ)+2(1λ)2++t(1λ)t+

konvergiert absolut. (Es wird schließlich von einer geometrischen Reihe mit einem gemeinsamen Verhältnis von weniger als dominiert .) Dies impliziert, dass wir seine Terme beim Rechnen damit frei neu anordnen können, wie in der folgenden Berechnung:1

λS(λ)=S(λ)(1λ)S(λ)=(1λ)+2(1λ)2+3(1λ)3+((1λ)2+2(1λ)3+3(1λ)4)=(1λ)+(21)(1λ)2+(32)(1λ)3+=(1λ)(1+(1λ)1+(1λ)2+)=(1λ)t=0(1λ)t=1λλ,

wie in der Frage angegeben. Weil , ist ungleich Null, daher können wir beide Seiten durch teilen , um die Gleichheit zu erzeugen|1λ|<1λλ

S(λ)=1λ1λλ=1λλ2,

QED.


Eine andere Lösung stellt fest, dass für das Integral ,t1

(2t1)=2(3)(2(t1)+1)1(2)(3)(t1)=(1)t1t!(t1)!=(1)t1t.

Erinnern Sie sich an den Binomialsatz , der besagt , dass wenn und überhaupt eine Zahl sind, dann|x|<1n

(1+x)n=t=0(nt)xt=t=1(nt1)xt1.

Nimmt man und ergibt sichn=2x=1λ

1λλ2=(1λ)(1(1λ))2=(1λ)t=1(2t1)((1λ))t1=t=0(1λ)tt.
whuber
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Wenn wir davon ausgehen, dass die Ableitung und die unendliche Summe vertauscht werden können, gibt es einen schnellen Weg, um zu Ihrem Ergebnis zu gelangen. Wie @whuber betonte, benötigen wir absolute Konvergenz, damit dies möglich ist. Dies gilt für die betreffende Reihe, wenn . Wir haben dann|1λ|<1

tt(1λ)t=(1λ)tλ(1λ)t

Beachten Sie, dass wir mit der Verwendung der Ableitung loswerden . Sie können überprüfen, ob diese Ausdrücke gleichwertig sind. Jetzt,t

tλ(1λ)t=λt(1λ)t=λ1λ=1λ2

unter unseren Annahmen. Multiplizieren Sie dies mit dem Faktor, den wir ausgelassen haben, um Ihr Ergebnis zu erhalten.

EDIT : Der Vollständigkeit halber hier der relevante Satz von Casella und Berger.

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Es ist leicht zu überprüfen, ob die Bedingungen hier gelten, sodass wir die Ableitung ohne Probleme außerhalb der Summierung verwenden können.

JohnK
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Ist das normalerweise der Fall? Dass die Ableitung und die unendliche Summe austauschbar sind?
Magnus
@Magnus Sie können dies unter bestimmten Regelmäßigkeitsbedingungen tun, nicht immer. Ich glaube jedoch, dass es hier kein Problem gibt.
JohnK
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(+1) Wenn , die Reihe auf der linken Seite konvergiert absolut und definiert daher eine differenzierbare Funktion von . Da diese Reihe ein Lebesgue-Integral ist, können Sie Differenzierung und Summierung austauschen . |λ1|<1λ
whuber
@whuber Das ist ein sehr hilfreicher Satz, danke fürs Teilen.
JohnK