Varianz bei der Schätzung von p für eine Binomialverteilung

Wie kann ich die Varianz von p berechnen, die aus einer Binomialverteilung abgeleitet wird? Nehmen wir an, ich werfe n Münzen und bekomme k Köpfe. Ich kann p als k / n schätzen, aber wie kann ich die Varianz in dieser Schätzung berechnen?

Ich bin daran interessiert, damit ich die Varianz meiner Verhältnisschätzungen kontrollieren kann, wenn ich zwischen Punkten mit unterschiedlicher Anzahl von Versuchen vergleiche. Ich bin mir der Schätzung von p sicherer, wenn n größer ist, daher möchte ich modellieren können, wie zuverlässig die Schätzung ist.

Danke im Voraus!

Beispiel:

• 40/100. Die MLE von p wäre 0,4, aber wie groß ist die Varianz in p?
• 4/10. Der MLE wäre immer noch 0,4, aber die Schätzung ist weniger zuverlässig, so dass es mehr Varianz in p geben sollte.

Wenn ist dann MLE von ist .$X$$\text{Binomial}(n, p)$$p$$\hat{p} = X/n$

Eine Binomialvariable kann als die Summe von Bernoulli-Zufallsvariablen betrachtet werden. wobei .$n$$X = \sum_{i=1}^n Y_i$$Y_i\sim\text{Bernoulli}(p)$

so können wir die Varianz des MLE als berechnen$\hat{p}$

$$\begin{align*} \text{Var}[\hat{p}] &= \text{Var}\left[\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n Y_i\right]\\ &= \dfrac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n Var[Y_i]\\ &= \dfrac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n p(1-p)\\ &= \dfrac{p(1-p)}{n} \end{align*}$$

Sie können also sehen, dass die Varianz des MLE für großes kleiner wird und auch für nahe 0 oder 1 kleiner wird . In Bezug auf sie maximiert, wenn .$n$$p$$p$$p=0.5$

Für einige Konfidenzintervalle können Sie Binomial-Konfidenzintervalle überprüfen