Ich habe dieses Problem, wo ich das pdf von . Ich weiß nur, dass die Verteilung . Welche Art von Verteilung ist ? Gleich wie ? Wie finde ich das PDF?
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Ich habe dieses Problem, wo ich das pdf von . Ich weiß nur, dass die Verteilung . Welche Art von Verteilung ist ? Gleich wie ? Wie finde ich das PDF?
[self-study]
Tag hinzu und lies das Wiki . Dann teilen Sie uns mit, was Sie bisher verstanden haben, was Sie ausprobiert haben und wo Sie feststecken. Wir geben Ihnen Tipps, damit Sie nicht weiterkommen.self-study
Tag tragen sollten (und Sie sollten das Tag-Wiki lesen und Ihre Frage ändern, um den Richtlinien für solche Fragen zu folgen Fragen - Sie müssen klar identifizieren, was Sie getan haben, um das Problem selbst zu lösen, und die spezifische Hilfe angeben, die Sie an dem Punkt benötigen, an dem Sie auf Schwierigkeiten gestoßen sind. ... ctdAntworten:
Sie sind auf eines der bekanntesten Ergebnisse der Wahrscheinlichkeitstheorie und -statistik gestoßen. Ich werde eine Antwort schreiben, obwohl ich sicher bin, dass diese Frage schon einmal auf dieser Site gestellt (und beantwortet) wurde.
Beachten Sie zunächst, dass das PDF vonY.= X2 nicht mit dem von X identisch sein kann, da Y. nicht negativ ist. Um die Verteilung von Y. abzuleiten, können wir drei Methoden verwenden, nämlich die mgf-Technik, die cdf-Technik und die Dichtetransformationstechnik. Lass uns anfangen.
Moment erzeugende Funktionstechnik .
Oder charakteristische Funktionstechnik, wie auch immer Sie möchten. Wir müssen die mgf vonY.= X2 . Wir müssen also die Erwartung berechnen
Nach dem Gesetz des unbewussten Statistikers müssen wir dieses Integral nur über die Verteilung vonX berechnen . Also müssen wir rechnen
In der letzten Zeile haben wir das Integral mit einem Gaußschen Integral mit dem Mittelwert Null und der Varianz 1 verglichen1(1−2t) . Natürlich integriert sich dies zu einem über die reale Leitung. Was können Sie jetzt mit diesem Ergebnis anfangen? Nun, Sie können eine sehr komplexe inverse Transformation anwenden und das PDF ermitteln, das diesem MGF entspricht, oder Sie erkennen es einfach als MGF einer Chi-Quadrat-Verteilung mit einem Freiheitsgrad. (Denken Sie daran, dass eine Chi-Quadrat-Verteilung ein Sonderfall einer Gamma-Verteilung mitα=r2 , wobeir die Freiheitsgrade sind undβ=2 ).
CDF-Technik
Dies ist vielleicht die einfachste Möglichkeit und wird von Glen_b in den Kommentaren vorgeschlagen. Nach dieser Technik berechnen wir
und da Verteilungsfunktionen die Dichtefunktionen definieren, differenzieren wir, nachdem wir einen vereinfachten Ausdruck erhalten haben, nur in Bezug aufy , um unser PDF zu erhalten. Wir haben dann
wobeiΦ(.) die CDF einer normalen Standardvariablen bezeichnet. Differenzieren in Bezug auf y wir bekommen,
Dies ist das PDF einer Chi-Quadrat-Distribution mit einem Freiheitsgrad (möglicherweise sehen Sie bereits ein Muster).
Dichte Transformationstechnik
Was jedoch anwendbar ist, ist eine Erweiterung davon. Unter dieser Erweiterung können wir die Unterstützung von zersetzenX (Unterstützung bedeutet die Punkte, an denen die Dichte nicht Null ist), in disjunkte Mengen, so dass Y.= g( X) definiert eine Eins-zu-Eins-Transformation von diesen Mengen in den Bereich von G . Die Dichte vonY. ergibt sich dann aus der Summe aller dieser inversen Funktionen und den entsprechenden absoluten Jacobi. In der obigen Notation
wobei die Summe über alle inversen Funktionen läuft. Dieses Beispiel wird es klar machen.
Zumy= x2 , we have two inverse functions, namely x=±y√ with corresponding absolute Jacobian 12y√ and so the corresponding pdf is found to be
the pdf of a chi-squared distribution with one degree of freedom. On a side note, I find this technique particularly useful as you no longer have to derive the CDF of the transformation. But of course, these are personal tastes.
So you can go to bed tonight completely assured that the square of a standard normal random variable follows the chi-squared distribution with one degree of freedom.
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