PDF des Quadrats einer normalen Zufallsvariablen [geschlossen]

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Ich habe dieses Problem, wo ich das pdf von Y=X2 . Ich weiß nur, dass X die Verteilung N(0,1) . Welche Art von Verteilung ist Y=X2 ? Gleich wie X ? Wie finde ich das PDF?

Melye77
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Das pdf von kann nicht dasselbe sein wie das von X, da Y nicht negativ ist. Y=X2XY
JohnK
Nun, ich trainiere für einen Test, also nein, es sind keine Hausaufgaben. Ich versuche, sie selbst zu lösen, aber ich kann dies nicht herausfinden
Melye77
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Bitte füge den [self-study]Tag hinzu und lies das Wiki . Dann teilen Sie uns mit, was Sie bisher verstanden haben, was Sie ausprobiert haben und wo Sie feststecken. Wir geben Ihnen Tipps, damit Sie nicht weiterkommen.
gung - Wiedereinsetzung von Monica
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Wenn Sie nach direkten Antworten auf diese spezielle Frage suchen, beachten Sie, dass solche Routinefragen im Stil von "Bucharbeiten" das self-studyTag tragen sollten (und Sie sollten das Tag-Wiki lesen und Ihre Frage ändern, um den Richtlinien für solche Fragen zu folgen Fragen - Sie müssen klar identifizieren, was Sie getan haben, um das Problem selbst zu lösen, und die spezifische Hilfe angeben, die Sie an dem Punkt benötigen, an dem Sie auf Schwierigkeiten gestoßen sind. ... ctd
Glen_b -Reinstate Monica
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ctd ... auf der anderen Seite, wenn Sie nach Antworten auf eine allgemeine Frage dieser Art suchen (wie "Wie erhalte ich das PDF einer transformierten Zufallsvariablen?"), ist das eine sehr gute Frage, die es bereits gegeben hat habe ein paar Mal auf der Seite geantwortet
Glen_b -Reinstate Monica

Antworten:

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Sie sind auf eines der bekanntesten Ergebnisse der Wahrscheinlichkeitstheorie und -statistik gestoßen. Ich werde eine Antwort schreiben, obwohl ich sicher bin, dass diese Frage schon einmal auf dieser Site gestellt (und beantwortet) wurde.

Beachten Sie zunächst, dass das PDF von Y=X2 nicht mit dem von X identisch sein kann, da Y nicht negativ ist. Um die Verteilung von Y abzuleiten, können wir drei Methoden verwenden, nämlich die mgf-Technik, die cdf-Technik und die Dichtetransformationstechnik. Lass uns anfangen.

Moment erzeugende Funktionstechnik .

Oder charakteristische Funktionstechnik, wie auch immer Sie möchten. Wir müssen die mgf von Y=X2 . Wir müssen also die Erwartung berechnen

E[etX2]

Nach dem Gesetz des unbewussten Statistikers müssen wir dieses Integral nur über die Verteilung von X berechnen . Also müssen wir rechnen

E[etX2]=12πetx2ex22dx=12πexp{x22(12t)}dt=(12t)1/2(12t)1/212πexp{x22(12t)}dt=(12t)1/2,t<12

In der letzten Zeile haben wir das Integral mit einem Gaußschen Integral mit dem Mittelwert Null und der Varianz 1 verglichen1(12t) . Natürlich integriert sich dies zu einem über die reale Leitung. Was können Sie jetzt mit diesem Ergebnis anfangen? Nun, Sie können eine sehr komplexe inverse Transformation anwenden und das PDF ermitteln, das diesem MGF entspricht, oder Sie erkennen es einfach als MGF einer Chi-Quadrat-Verteilung mit einem Freiheitsgrad. (Denken Sie daran, dass eine Chi-Quadrat-Verteilung ein Sonderfall einer Gamma-Verteilung mitα=r2 , wobeirdie Freiheitsgrade sind undβ=2).

CDF-Technik

Dies ist vielleicht die einfachste Möglichkeit und wird von Glen_b in den Kommentaren vorgeschlagen. Nach dieser Technik berechnen wir

FY(y)=P(Yy)=P(X2y)=P(|X|y)

und da Verteilungsfunktionen die Dichtefunktionen definieren, differenzieren wir, nachdem wir einen vereinfachten Ausdruck erhalten haben, nur in Bezug auf y , um unser PDF zu erhalten. Wir haben dann

FY(y)=P(|X|y)=P(y<X<y)=Φ(y)Φ(y)

wobei Φ(.) die CDF einer normalen Standardvariablen bezeichnet. Differenzieren in Bezug auf y wir bekommen,

fY(y)=FY(y)=12yϕ(y)+12yϕ(y)=1yϕ(y)

ϕ(.)

fY(y)=1y12πey2,0<y<

Dies ist das PDF einer Chi-Quadrat-Distribution mit einem Freiheitsgrad (möglicherweise sehen Sie bereits ein Muster).

Dichte Transformationstechnik

Y=g(X)Y

fY(y)=|ddyg1(y)|fX(g1(y))

yg. Leider erfordert dieser Satz eine Eins-zu-Eins-Transformation, was hier eindeutig nicht der Fall ist. In der Tat können wir sehen, dass zwei Werte vonX Ergebnis im gleichen Wert von Y., Geine quadratische Transformation sein. Daher ist dieser Satz nicht anwendbar.

Was jedoch anwendbar ist, ist eine Erweiterung davon. Unter dieser Erweiterung können wir die Unterstützung von zersetzenX (Unterstützung bedeutet die Punkte, an denen die Dichte nicht Null ist), in disjunkte Mengen, so dass Y.=G(X) definiert eine Eins-zu-Eins-Transformation von diesen Mengen in den Bereich von G. Die Dichte vonY.ergibt sich dann aus der Summe aller dieser inversen Funktionen und den entsprechenden absoluten Jacobi. In der obigen Notation

fY.(y)=|ddyG-1(y)|fX(G-1(y))

wobei die Summe über alle inversen Funktionen läuft. Dieses Beispiel wird es klar machen.

Zum y=x2, we have two inverse functions, namely x=±y with corresponding absolute Jacobian 12y and so the corresponding pdf is found to be

fY(y)=12y12πey/2+12y12πey/2=1y12πey/2,0<y<

the pdf of a chi-squared distribution with one degree of freedom. On a side note, I find this technique particularly useful as you no longer have to derive the CDF of the transformation. But of course, these are personal tastes.


So you can go to bed tonight completely assured that the square of a standard normal random variable follows the chi-squared distribution with one degree of freedom.

JohnK
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We typically don't provide complete answers to self study questions, but only hints. The fact that the OP has not added the tag or attempted to adhere to our policies means this thread should be closed. You can find our policy on self study questions here.
gung - Wiedereinsetzung von Monica
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@gung I am certain that the OP could have found the answer anywhere, this is not exactly groundbreaking :)
JohnK
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Bei Fragen zum Selbststudium wird das so ziemlich immer zutreffen. Trotzdem geben wir den Menschen in der Regel keine vollständigen Antworten auf ihre Hausaufgaben, sondern nur Tipps, wie sie es selbst herausfinden können.
gung - Wiedereinsetzung von Monica
@JohnK, thanks for the answer. Just a question on what you have written on the CDF technique: Shouldn't it be fY(y)=12FY. The reason is: fY(y)=ddyP(yYy)=fY(y)(fY(y))=2fY(y). I learned this here (see last comment by 'Reinstate Monica'). Thanks
DomB