Beta als Proportionsverteilung (oder als kontinuierliches Binomial)

Die Beta-Verteilung hängt damit zusammen, dass Binomial auch die Verteilung für Auftragsstatistiken ist . Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion der Binomialverteilung ist

$$f(k) = {n \choose k} p^k (1-p) ^{n-k} \tag{1}$$

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Beta-Verteilung ist

$$g(p) = \frac{1}{\mathrm{B}(\alpha, \beta)} p^{\alpha-1} (1-p)^{\beta-1} \tag{2}$$

wir können $n \choose k$ in (1) umschreiben als

$$\frac{1}{(n+1) \mathrm{B}(k+1, n-k+1)}$$

Wenn wir $k+1 = \alpha$ und $n-k+1 = \beta$ wird (1)

$$\frac{1}{(n+1) \mathrm{B}(\alpha, \beta)} p^{\alpha-1} (1-p)^{\beta-1}$$

Beta ist also im Grunde eine Verteilung der $k/n$ Anteile in $n$ Versuchen, wobei der durchschnittliche Anteil als $\mu$

$$\frac{1}{\mathrm{B}(n\mu+1, n(1-\mu)+1)} p^{n\mu} (1-p)^{n(1-\mu)} \tag{3}$$

Kennen Sie Referenzen oder Beispiele für eine solche Verwendung von Beta? Die meiste Literatur zur statistischen Analyse mit Proportionen (die ich gefunden habe) scheint nur die Binomialverteilung und das Beta-Binomial-Bayes'sche Modell zu beschreiben, anstatt sich direkt mit Beta zu befassen.

Das Beta als Verteilung für Variablen, die Proportionen entsprechen oder ähnlich sind, ist ein beliebter Spielplatz in verschiedenen Bereichen der statistischen Wissenschaft. Die Beta-Regression ist ein Hauptfokus dieses Textes und dieser Monographie .

Wie dieses Buch und andere Literatur im Detail veranschaulichen, lässt dies noch Raum für Diskussionen im Allgemeinen und im Besonderen über die Vorzüge solcher Modelle im Vergleich zu verallgemeinerten linearen Modellen unter Verwendung einer Binomialfamilie und (normalerweise) robustem Sandwich-Huber-Weiß-Geschmack. geschweige denn lineare Wahrscheinlichkeitsmodelle.

Zusätzlich zu Nicks Antwort wird eine solche Parametrisierung, wie sie in meiner Frage beschrieben ist, auch in der Vignette zum betaregVerpacken und von Ferrari und Cribari-Neto (2004) erwähnt, die sie auch in ihrem Artikel über die Beta-Regression vorgeschlagen haben. Ferrari und Cribari-Neto (2004) beschreiben die Parameter als für Mittelwert und für Präzision (dh wenn sie wachsen, verringert sie die Varianz).$\mu$$\phi$

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Ferrari, S. & Cribari-Neto, F. (2004). Beta-Regression zur Modellierung von Raten und Proportionen. Journal of Applied Statistics, 31 (7), 799-815.