Warum ist die Multiplikation im Frequenzbereich gleich der Faltung im Zeitbereich?

7

Diese Frage wurde im Zusammenhang mit dem Verständnis gestellt, wie eine Verteilung einer Summe von zwei iid-Zufallsvariablen erhalten werden kann. Ich arbeite an der besten Antwort auf diese Frage. Betrachten Sie die Summe von Gleichverteilungen auf oder . Warum verschwindet die Spitze im PDF von für ? n[0,1]ZnZnn3und versuchen zu verstehen, warum sich charakteristische Funktionen so verhalten, wie sie es tun.

Der Titel ist die ganze Frage.

Anton
quelle

Antworten:

11

Nehmen wir an, wir könnten eine (messbare) Funktion die auf den reellen Zahlen mit der Eigenschaft that definiert istχ

χ(a+b)=χ(a)χ(b)

für alle Zahlen und und für die es eine endliche positive Zahl für die für alle . Beachten Sie, wie Addition (die grundlegende Operation, die in einer Faltung auftritt) und Multiplikation in Beziehung setzt.ab M|χ(a)|Maχ

Warum sind diese Eigenschaften nützlich? Angenommen, und sind unabhängige Zufallsvariablen. Lassen jede reelle Zahl. Dann (diese beiden Eigenschaften in umgekehrter Reihenfolge aufnehmen)XYt

  1. E(χ(tX))E(|χ(tX)|)=E(M)=M< (mit einem ähnlichen Ausdruck für ) zeigt, dass die Erwartungen der Zufallsvariablen und existieren und endlich sind, mit einer einheitlichen Grenze unabhängig von .Yχ(tX)χ(tY)Mt

    Diese Prozedur, eine Zufallsvariable und sie in die Funktion umzuwandeln X

    tE(χ(tX))=(cfχ(X))(t)

    Dadurch wird jeder Zufallsvariablen eine genau definierte, begrenzte Funktion zugewiesen - unabhängig davon, welche schrecklichen Eigenschaften könnte.cfχ(X)XX

  2. E(χ(t(X+Y)))=E(χ(tX)χ(tY))=E(χ(tX))E(χ(tY)) weil und unabhängig sind. Etwas anders geschrieben,XY

    (cfχ(X+Y))(t)=((cfχ(X))(cfχ(Y)))(t)

    Das heißt, die Transformation wandelt die Faltung (Addition von Zufallsvariablen) in eine (punktweise) Multiplikation von Funktionen um.cfχ

Viel mehr kann gesagt werden: siehe Literatur zur Fourier-Analyse . In der Zwischenzeit wurde die Frage jedoch so beantwortet, dass "Zeit" und "Frequenz" möglicherweise rote Heringe sind: Diese grundlegende Eigenschaft der Umwandlung von Faltung in Multiplikation beruht nur auf der Existenz eines schönen . χ

Die einzigen reellen Funktionen mit den definierenden Eigenschaften von sind und . Sie führen zu nichts Nützlichem. Aber wenn wir zulassen , dass haben komplexe Werte, dann ist eine solche Funktion und erzeugt nützliche Ergebnisse. (Außerdem sind alle diese von diesem abgeleitet: Sie müssen für eine feste reelle Zahl die Form .) In diesem Fall wird , um die genannte charakteristische Funktion von .χχ(a)=1χ(a)=0χχ(a)=exp(ia)χaexp(iaλ)λcfχ(X)X


Es ist nicht schwer zu erkennen, dass ist , wenn nicht identisch Null ist muss immer gleich , egal was ist. Solche Funktionen werden (komplexe) multiplikative Zeichen (der additiven Gruppe reeller Zahlen) genannt.χ|χ(a)|1a

whuber
quelle
+1 Ich wünschte, jeder hätte dieses Konzept genauso eingeführt wie Sie ...
user541686
2

Die Antwort hängt davon ab, wonach Sie in der Antwort suchen.

Für mich war dies zum Beispiel die Antwort , und der Rest waren nur die Details: Es geht nur um den Exponenten, wenn Sie sie multiplizieren, werden ihre Argumente hinzugefügt.

eaeb=ea+b
Aksakal
quelle