Sollte die Dirac-Delta-Funktion als Unterklasse der Gaußschen Verteilung angesehen werden?

In Wikidata ist es möglich, Wahrscheinlichkeitsverteilungen (wie alles andere) in einer Ontologie zu verknüpfen, z. B. dass die t-Verteilung eine Unterklasse der nichtzentralen t-Verteilung ist, siehe z.

https://angryloki.github.io/wikidata-graph-builder/?property=P279&item=Q209675&iterations=3&limit=3

Es gibt verschiedene Grenzfälle, z. B. wenn die Freiheitsgrade in der t-Verteilung gegen unendlich gehen oder wenn die Varianz für die Normalverteilung gegen Null geht (Gaußsche Verteilung). Im letzteren Fall geht die Verteilung in Richtung Diracs Delta-Funktion.

Ich stelle fest, dass in der englischen Wikipedia der Varianzparameter derzeit als größer als Null angegeben wird, sodass man bei einer strengen Interpretation nicht sagen würde, dass die Delta-Funktion des Dirac eine Unterklasse der Normalverteilung ist. Für mich scheint es jedoch ganz in Ordnung zu sein, da ich sagen würde, dass die Exponentialverteilung eine Oberklasse der Dirac-Delta-Funktion ist.

Gibt es Probleme mit der Feststellung, dass die Dirac-Delta-Funktion eine Unterklasse der Gaußschen Verteilung ist?

Diracs Delta wird als Gaußsche Verteilung angesehen, wenn dies zweckmäßig ist, und nicht so, wenn dieser Standpunkt es erfordert, dass wir Ausnahmen machen.

Zum Beispiel soll eine multivariate Gaußsche Verteilung aufweisen, wenn eine Gaußsche Zufallsvariable für alle Auswahlmöglichkeiten von reellen Zahlen . (Hinweis: Dies ist eine Standarddefinition in "erweiterten" Statistiken). Da eine Auswahl , behandelt die Standarddefinition die Konstante (eine entartete Zufallsvariable) als eine Gaußsche Zufallsvariable (mit Mittelwert und Varianz ). Andererseits ignorieren wir unsere Betrachtung des Dirac-Deltas als Gaußsche Verteilung, wenn wir so etwas in Betracht ziehen∑ i a i X i a 1 , a 2 , … , a n a 1 = a 2 = ⋯ = a n = 0 0 $(X_1, X_2, \ldots, X_n)$$\sum_i a_iX_i$$a_1, a_2, \ldots, a_n$$a_1=a_2=\cdots=a_n=0$$0$$0$

"Die kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion (CDF) einer Gaußschen Zufallsvariablen mit einem Mittelwert von Null und einer Standardabweichung ist wobei die CDF einer Standard-Gaußschen Zufallsvariablen ist. "F X ( x ) = P { X ≤ x } = Φ ( $\sigma$Φ(⋅

$$F_X(x) = P\{X \leq x\} = \Phi\left(\frac{x}{\sigma}\right)$$ $\Phi(\cdot)$

Beachten Sie, dass diese Aussage fast richtig, aber nicht ganz richtig ist, wenn wir das Dirac-Delta als Grenzfall einer Folge von Gaußschen Zufallsvariablen mit einem Mittelwert von Null betrachten, deren Standardabweichung gegen (und daher als Gaußsche Zufallsvariable). Die CDF des Dirac-Deltas hat den Wert für während$0$$1$$x \geq 0$

$$\lim_{\sigma\to 0}\Phi\left(\frac{x}{\sigma}\right) = \begin{cases} 0, & x < 0,\\ \frac 12, & x = 0,\\ 1, & x > 0.\end{cases}$$ Aber viele Leute werden Ihnen sagen, dass es Unsinn ist, ein Dirac-Delta als Gaußsche Verteilung zu betrachten, da ihr Buch besagt, dass die Varianz einer Gaußschen Zufallsvariablen eine positive Zahl sein muss (und einige von ihnen werden diese Antwort herabstimmen, um sie zu zeigen ihr Missfallen). Vor einigen Jahren gab es eine sehr lebhafte und aufschlussreiche Diskussion über diesen Punkt auf stats.SE, aber leider nur in den Kommentaren zu einer Antwort (von @Macro, glaube ich) und nicht als individuelle Antwort, und ich kann sie nicht wiederfinden .

Die Delta-Funktionen passen in eine mathematische Verteilungstheorie (die sich deutlich von der Theorie der Wahrscheinlichkeitsverteilungen unterscheidet , die Terminologie könnte hier nicht verwirrender sein).

Verteilungen sind im Wesentlichen verallgemeinerte Funktionen. Sie können nicht wie eine Funktion ausgewertet werden, aber dann können integriert werden. Genauer gesagt ist eine Verteilung wie folgt definiert$D$

Sei die Sammlung von Testfunktionen . Eine Testfunktion ist eine echte, ehrliche Funktion, glatt, mit kompakter Unterstützung. Eine Verteilung ist eine lineare Abbildung$T$$\theta$$D: T \rightarrow \mathbb{R}$

Eine ehrliche Funktion bestimmt eine Verteilung durch den Integrationsoperator$f$

$$T(\theta) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\theta(x) dx$$

Es gibt Verteilungen, die nicht mit echten Funktionen verknüpft sind. Der dirac-Operator ist eine davon

$$\delta(\theta) = \theta(0)$$

In diesem Sinne können Sie den Dirac als Grenzfall der Normalverteilungen betrachten. Wenn die Familie von mit Normalverteilungen mit dem Mittelwert Null und der Varianz , dann für jede Testfunktion$N_t$$t$$\theta$

$$\theta(0) = \lim_{t \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{+\infty} N_t(x) \theta(x) dx$$

Dies wird wahrscheinlich häufiger ausgedrückt als

$$\theta(0) = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) \theta(x) dx = \lim_{t \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{+\infty} N_t(x) \theta(x) dx$$

was ein Mathematiker als Missbrauch der Notation betrachten würde, weil der Ausdruck eigentlich keinen Sinn ergibt. Aber wer bin ich , um Dirac zu kritisieren, der der Beste ist?$\delta(x)$

Ob dies den Dirac zu einem Mitglied der Familie der Normalverteilungen macht, ist natürlich eine kulturelle Frage. Hier gebe ich nur einen Grund an, warum es sinnvoll sein kann, dies in Betracht zu ziehen.

Nein, es ist keine Unterklasse der Normalverteilung.

Ich denke, die Verwirrung kommt von einer der Darstellungen der Dirac-Funktion. Denken Sie daran, dass es wie folgt definiert ist:

$$\int_{-\infty}^\infty\delta(x)dx=1$$ $$\delta(x)=0,\forall x\ne 0$$

Es ist als Integral definiert, was großartig ist, aber manchmal müssen Sie es eher durch eine Funktionsdarstellung als durch ein Integral operationalisieren. Die Leute haben sich also alle möglichen Alternativen ausgedacht, eine davon sieht aus wie die Gaußsche Dichte:

$$\delta(x)=\lim_{\sigma\to 0} \frac{e^{\frac{-x^2}{2\sigma^2}}}{\sqrt{2\pi}\sigma}$$

Dies ist jedoch nicht die einzige Darstellung , z. B. die folgende:

$$\delta(x)=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=-\infty}^\infty e^{ikx}, \forall x\in (-\pi,\pi)$$

Daher ist es am besten, sich die Dirac-Funktion als integrale Definition vorzustellen und die Funktionsdarstellungen wie Gauß als Hilfsmittel zu verwenden.

UPDATE Für @ whuber ist diese Darstellung von Diracs Delta ein noch besseres Beispiel:

$$\delta(x)=\lim_{\sigma\to 0} \frac{e^{-\frac{|x|}{\sigma}}}{2\sigma}$$

Sieht das für Sie nach einer Laplace-Verteilung aus? Sollten wir dann Diracs Delta nicht als Unterklasse der Laplace-Verteilung betrachten?