Hat diese Distribution einen Namen?

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Mir ist heute aufgefallen, dass die Verteilung könnte als Kompromiss zwischen der Gaußschen und der Laplace-Verteilung fürundHat eine solche Verteilung einen Namen? Und hat es einen Ausdruck für seine Normalisierungskonstante? Das Kalkül Stümpfe mich, weil ich weiß nichtwie auch fürLösung beginntim Integral

f (x) \propto \exp (- \frac{| x - μ |^{p}}{β})

$f(x)\propto\exp\left(-\frac{|x-\mu|^p}{\beta}\right)$

x \in R, p \in [1, 2]

$x\in\mathbb{R}, p\in[1,2]$

β > 0.

$\beta>0.$

C

$C$

1 = C \cdot \int_{- \infty}^{\infty} \exp (- \frac{| x - μ |^{p}}{β}) d x

$1=C\cdot \int_{-\infty}^\infty \exp\left(-\frac{|x-\mu|^p}{\beta}\right) dx$

distributions normal-distribution terminology laplace-distribution distribution-identification Sycorax sagt Reinstate Monica
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Kurze Antwort

Das PDF, das Sie beschreiben, ist am besten als Subbotin-Distribution bekannt ... siehe den Artikel von Subbotin aus dem Jahr 1923, der genau dieselbe funktionale Form hat, mit . $Y = X-\mu$

Subbotin, MT (1923), Über das Gesetz der Fehlerhäufigkeit, Matematicheskii Sbornik, 31, 296-301.

Wer gibt das PDF in seiner Gleichung 5, Form:

f (y) = K \exp [- {(\frac{| y |}{σ})}^{p}]

$f(y) = K \exp\left[-\left(\frac{|y|}{\sigma}\right)^p\right]$

mit Integrationskonstante: nach Xians Ableitung mit $K = \large\frac{p}{2 \sigma \Gamma \left(\frac{1}{p}\right)}$ $\beta = \sigma^p$

Längere Antwort

Wikipedia ist leider nicht immer "aktuell" oder genau oder manchmal nur 80 Jahre hinter der Zeit. Nach Subbotin (1923) ist die Verteilung in der Literatur weit verbreitet, einschließlich:

Diananda, PH (1949), Anmerkung zu einigen Eigenschaften von Maximum-Likelihood-Schätzungen, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 45, 536-544.
Turner, ME (1960), Über heuristische Schätzmethoden, Biometrics, 16 (2), 299-301.
Zeckhauser, R. und Thompson, M. (1970), Lineare Regression mit nicht normalen Fehlertermen, The Review of Economics and Statistics, 52, 280-286.
McDonald, JB und Newey, WK (1988), Partiell adaptive Schätzung von Regressionsmodellen über die generalisierte t-Verteilung, Econometric Theory, 4, 428-457.
Johnson, NL, Kotz, S. und Balakrishnan, N. (1995), Continuous Univariate Distributions, Band 2, 2. Auflage, Wiley: New York (1995, S.422)
Mineo, AM und Ruggieri, M. (2005), Ein Software-Tool für die Exponential Power Distribution: das Paket normalp, Journal of Statistical Software, 12 (4), 1-21.

... alles vor dem Artikel, auf den im Wiki verwiesen wird. Abgesehen davon, dass der Name in Wiki 'a Generalized Normal' 80 Jahre veraltet ist, scheint er auch unangemessen zu sein, da es unendlich viele Verteilungen gibt, die Verallgemeinerungen der Normalen sind, und der Name ist in jedem Fall nicht eindeutig in der Literatur. Es wird auch der ursprüngliche Autor nicht anerkannt.

wolfies
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\int_{0}^{\infty} \exp {- x^{p}} d x \overset{y = x^{p}}{=} \int_{0}^{\infty} \exp {- y} | \frac{d x}{d y} | d y \overset{x = y^{1 / p}}{=} \int_{0}^{\infty} \exp {- y} \frac{1}{p} y^{\frac{1}{p} - 1} d y = Γ (1 / p) \frac{1}{p}

$\int_0^\infty \exp\{−x^p\}\text{d}x\stackrel{y=x^p}{=}\int_0^\infty \exp\{−y\}\left|\dfrac{\text{d}x}{\text{d}y}\right|\text{d}y\stackrel{x=y^{1/p}}{=}\int_0^\infty \exp\{−y\}\frac{1}{p}y^{\frac{1}{p}-1}\text{d}y=\Gamma(1/p)\frac{1}{p}$

\int_{- \infty}^{\infty} \exp {- β^{- 1} | x - μ |^{p}} d x = \frac{2 Γ (1 / p)}{p} β^{1 / p}

$\int_{-\infty}^\infty \exp\{−\beta^{-1}|x-\mu|^p\}\text{d}x=\dfrac{2\Gamma(1/p)}{p}\beta^{1/p}$

Xi'an
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2

D'oh. Na sicher. Und zufällig wissen Sie, ob es einen Namen hat?

Sycorax sagt Reinstate Monica

1

Es hat etwas mit den Distributionen [Weibull und Fréchet] zu tun ( en.wikipedia.org/wiki/… ), jedoch haben diese einen Potenzterm vor dem Exponential. Es ist also eher eine Gaußsche Verteilung für eine andere Metrik als die quadratische Distanz.

Xi'an

1

+1 Es wäre nicht falsch, dies eine "Power Gamma" -Verteilung zu nennen.

Whuber

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Laut Wikipedia ist dies als generalisierte Normalverteilung (Version 1 im Artikel) und als Einschränkung bekannt $p\in [1,2]$ ist nicht erforderlich, aber ein positiver Wert ist in Ordnung.

Die in Wikipedia angegebene Referenz ist Saralees Nadarajah (2005) Eine verallgemeinerte Normalverteilung , Journal of Applied Statistics, 32: 7, 685-694, DOI: 10.1080 / 02664760500079464. In diesem Artikel wird erwähnt, dass die Normalisierungskonstante durch "einfache Integration" gefunden wird - ich gehe davon aus, dass Xi'ans Antwort folgt.

Juho Kokkala
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