Vergleich zwischen Bayes-Schätzern

1. Betrachten Sie den quadratischen Verlust , wobei vorher gegeben ist, wobei . Sei die Wahrscheinlichkeit. Finden Sie den Bayes-Schätzer .$L(\theta,\delta)=(\theta-\delta)^2$$\pi(\theta)$$\pi(\theta)\sim U(0,1/2)$$f(x|\theta)=\theta x^{\theta-1}\mathbb{I}_{[0,1]}(x), \theta>0$$\delta^\pi$

2. Betrachten Sie den gewichteten quadratischen Verlust wobei mit dem vorherigen . Sei die Wahrscheinlichkeit. Finden Sie den Bayes-Schätzer .$L_w(\theta,\delta)=w(\theta)(\theta-\delta)^2$$w(\theta)=\mathbb{I}_{(-\infty,1/2)}$$\pi_1(\theta)=\mathbb{I}_{[0,1]}(\theta)$$f(x|\theta)=\theta x^{\theta-1}\mathbb{I}_{[0,1]}(x), \theta>0$$\delta^\pi_1$

3. Vergleiche und$\delta^\pi$$\delta^\pi_1$

Zuerst bemerkte ich, dass , und ich nahm an, dass dies die Wahrscheinlichkeit ist, sonst bekomme ich keinen posterioren, dann so dass der Bayes-Schätzer in Bezug auf den quadratischen Verlust $f(x|\theta)\sim Beta(\theta,1)$

$$\pi(\theta|x)\propto f(x|\theta)\pi(\theta)=\theta x^{\theta-1}\mathbb{I}_{[0,1]}*2\mathbb{I}_{(0,1/2)}(\theta)\sim Beta(\theta,1)$$ $$\mathbb{E}[\pi(\theta|x)]=\frac{\theta}{\theta+1}$$

Ich schaue in das Buch The Bayesian Choice und es gibt einen Satz über den Bayes-Schätzer, der mit dem gewichteten quadratischen Verlust verbunden ist, und er ist gegeben durch

$$\delta^\pi(x)=\frac{\mathbb{E}^\pi[w(\theta)\theta|x]}{\mathbb{E}^\pi[w(\theta)|x]}$$

Kann mir jemand erklären, wie ich es berechne?

Was ich versucht habe ist:

$$\delta^\pi(x)=\frac{\frac{\int \theta w(\theta)f(x|\theta)\pi(\theta)d\theta}{\int w(\theta)f(x|\theta)\pi(\theta)d\theta}}{\frac{\int f(x|\theta)\pi(\theta)d\theta}{\int w(\theta)f(x\theta)\pi(\theta)d\theta}}$$

Ich weiß, dass die Unterstützung , aber als ich versuchte, mich in den Zähler zu integrieren$[0,\frac{1}{2}]$

$$\int \theta w(\theta)f(x|\theta)\pi(\theta)d\theta=\int_0^\frac{1}{2}\theta\theta x^{\theta-1}d\theta=\frac{1}{x}\int_0^\frac{1}{2}\theta^2 x^\theta d\theta$$

Ich bekomme keine guten Ergebnisse.

Beachten Sie zunächst, dass ich den ursprünglichen Wortlaut der Frage bezüglich der Indikatorfunktionen in Ihren Wahrscheinlichkeitsdefinitionen korrigiert habe, da es sich um Funktionen von not . Daher ist die Wahrscheinlichkeit , die sich eindeutig in eins integriert:$x$$\theta$

$$f(x)=\theta x^{\theta-1}\mathbb{I}_{[0,1]}(x)$$ $$\int_0^1 \theta x^{\theta-1}\text{d}x = 1$$

Zweitens ist der hintere in keine Beta-Funktion, da, wie durch Greenparker Aufgrund der Einschränkung Bei den Werten von es sich ebenfalls nicht um eine Gamma-Verteilung, sondern um eine Kürzung der Gamma-Verteilung.$\theta$

$$\pi(\theta|x)\propto\, \mathbb{I}_{[0,1/2]}(\theta)\theta x^{\theta-1}\propto \mathbb{I}_{[0,1/2]}(\theta)\,\theta \exp\{\log(x)\theta\}$$ $\theta$

Daher ist der Bayes-Schätzer die hintere Erwartung , das möglicherweise die Verwendung der unvollständigen Gammafunktion erfordert, aber durch Integration nach Teil in geschlossener Form abgeleitet werden kann: seit

$$\begin{align*}\mathbb{E}[\theta|x] &= \int_0^{1/2} \theta\times\theta \exp\{\log(x)\theta\}\text{d}\theta \Big/ \int_0^{1/2} \theta \exp\{\log(x)\theta\}\text{d}\theta\\&= \int_0^{1/2} \theta^2 \exp\{\log(x)\theta\}\text{d}\theta \Big/ \int_0^{1/2} \theta \exp\{\log(x)\theta\}\text{d}\theta\\\end{align*}$$ $$\int_0^{1/2} \theta^k \exp\{-\alpha\theta\}\text{d}\theta = \frac{-1}{\alpha}\left[\theta^k \exp\{-\alpha\theta\}\right]_0^{1/2} + \frac{k}{\alpha}\int_0^{1/2} \theta^{k-1} \exp\{-\alpha\theta\}\text{d}\theta$$ $$\int_0^{1/2} \exp\{-\alpha\theta\}\text{d}\theta = \frac{1-\exp\{-\alpha/2\}}{\alpha}$$

Wie in meinem Buch angegeben , entspricht das Minimieren in dem Minimieren in was selbst einer Minimierung in was bedeutet, den ursprünglichen Prior durch einen neuen Prior zu ersetzen , das in eine Dichte renormiert werden muss, $\delta$

$$\int w(\theta)(\theta-\delta)^2 \pi(\theta|x) \text{d}\theta$$ $\delta$ $$\int w(\theta)(\theta-\delta)^2 \pi(\theta)f(x|\theta) \text{d}\theta$$ $\delta$ $$\int (\theta-\delta)^2 w(\theta)\pi(\theta)f(x|\theta) \text{d}\theta$$ $\pi$$w(\theta)\pi(\theta)$ $$\pi_1(\theta)=w(\theta)\pi(\theta) \Big/\int w(\theta)\pi(\theta)\text{d}\theta$$

Ihre Antwort für den quadratischen Fehlerverlustteil ist falsch.

$$\pi(\theta|x) \propto f(x|\theta) \pi(\theta) = 2\theta x^{\theta-1}I_{(0,1/2)}(\theta).$$

Dies ist eine -Verteilung in , nicht in , und die Zufallsvariable im posterioren Bereich ist . Ihre Antwort ist also falsch, und die richtige Antwort wäre das hintere Mittel dieser Verteilung.$Beta(\theta,1)$$x$$\theta$$\theta$

Für den zweiten Teil

(Der Prior für die gewichtete Verlustfunktion ist aber Sie bezeichnen ihn als . Ich schalte die Notation zurück auf .)$\pi_1$$\pi$$\pi_1$

Sei , wobei eine Normalisierungskonstante ist. Sie müssen berechnen$\pi'(\theta) = cw(\theta) \pi_1(\theta)$$c$

$$\begin{align*} \delta^{\pi_1}(x) & = \dfrac{E^{\pi_1}[w(\theta) \theta |x ]}{E^{\pi_1}[w(\theta|x)]}\\ & = \dfrac{\int w(\theta) \theta f(x|\theta) \pi_1(\theta)\, d\theta}{\int w(\theta) f(x|\theta)\pi_1(\theta)\, d\theta}\\ & = \dfrac{\int \theta f(x|\theta) \pi'(\theta) \,d\theta}{\int f(x|\theta) \pi'(\theta) \, d\theta}\\ & = E^{\pi'}[\theta|x] \end{align*}$$

Für die gewichtete Verlustfunktion der kleinsten Quadrate besagt der Satz, dass die Bayes-Schätzung das hintere Mittel in Bezug auf einen anderen Prior ist. Der Prior ist

$$\pi'(\theta) \propto w(\theta) \pi_1(\theta).$$

Die Normalisierungskonstante ist .$\int_{\theta} w(\theta) \pi(\theta) d\theta = E_{\pi_1}[w(\theta)]$

$$\begin{align*} E_{\pi_1}[w(\theta)] & = \int_{0}^{1/2} I_{0,1}(\theta) d(\theta) = \frac{1}{2}. \end{align*}$$

Der Prior ist also . Dies ist derselbe Stand, den Sie in der ersten Frage hatten.$\pi'(\theta) = 2I_{(0,1/2)}(\theta)$

Somit ist die Antwort für die Szenarien (was auch immer es ist) dieselbe. Das Integral finden Sie hier . Es kann jedoch ausreichend sein, die Form der Antwort zu korrigieren und das Integral nicht zu vervollständigen.