Vergleich zwischen Bayes-Schätzern

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  1. Betrachten Sie den quadratischen Verlust , wobei vorher gegeben ist, wobei . Sei die Wahrscheinlichkeit. Finden Sie den Bayes-Schätzer .L(θ,δ)=(θδ)2π(θ)π(θ)U(0,1/2)f(x|θ)=θxθ1I[0,1](x),θ>0δπ

  2. Betrachten Sie den gewichteten quadratischen Verlust wobei mit dem vorherigen . Sei die Wahrscheinlichkeit. Finden Sie den Bayes-Schätzer .Lw(θ,δ)=w(θ)(θδ)2w(θ)=I(,1/2)π1(θ)=I[0,1](θ)f(x|θ)=θxθ1I[0,1](x),θ>0δ1π

  3. Vergleiche undδπδ1π

Zuerst bemerkte ich, dass , und ich nahm an, dass dies die Wahrscheinlichkeit ist, sonst bekomme ich keinen posterioren, dann so dass der Bayes-Schätzer in Bezug auf den quadratischen Verlust f(x|θ)Beta(θ,1)

π(θ|x)f(x|θ)π(θ)=θxθ1I[0,1]2I(0,1/2)(θ)Beta(θ,1)
E[π(θ|x)]=θθ+1

Ich schaue in das Buch The Bayesian Choice und es gibt einen Satz über den Bayes-Schätzer, der mit dem gewichteten quadratischen Verlust verbunden ist, und er ist gegeben durch

δπ(x)=Eπ[w(θ)θ|x]Eπ[w(θ)|x]

Kann mir jemand erklären, wie ich es berechne?

Was ich versucht habe ist:

δπ(x)=θw(θ)f(x|θ)π(θ)dθw(θ)f(x|θ)π(θ)dθf(x|θ)π(θ)dθw(θ)f(xθ)π(θ)dθ

Ich weiß, dass die Unterstützung , aber als ich versuchte, mich in den Zähler zu integrieren[0,12]

θw(θ)f(x|θ)π(θ)dθ=012θθxθ1dθ=1x012θ2xθdθ

Ich bekomme keine guten Ergebnisse.

Xi'an
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1
Ist hier nicht negativ? w(θ)
Juho Kokkala
3
Ich verstehe Ihre Bemerkung über "nur für nicht negativ" nicht, weil (1) eine Verlustfunktion niemals negativ wird und (2) Ihre Verlustfunktion sowieso nicht negativ sein kann. w(θ)
whuber
@ Whuber Meine Güte, jetzt erkannte ich meine Idiotie, ich schaute auf die Indikatorunterstützung

Antworten:

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Beachten Sie zunächst, dass ich den ursprünglichen Wortlaut der Frage bezüglich der Indikatorfunktionen in Ihren Wahrscheinlichkeitsdefinitionen korrigiert habe, da es sich um Funktionen von not . Daher ist die Wahrscheinlichkeit , die sich eindeutig in eins integriert:xθ

f(x)=θxθ1I[0,1](x)
01θxθ1dx=1

Zweitens ist der hintere in keine Beta-Funktion, da, wie durch Greenparker Aufgrund der Einschränkung Bei den Werten von es sich ebenfalls nicht um eine Gamma-Verteilung, sondern um eine Kürzung der Gamma-Verteilung.θ

π(θ|x)I[0,1/2](θ)θxθ1I[0,1/2](θ)θexp{log(x)θ}
θ

Daher ist der Bayes-Schätzer die hintere Erwartung , das möglicherweise die Verwendung der unvollständigen Gammafunktion erfordert, aber durch Integration nach Teil in geschlossener Form abgeleitet werden kann: seit

E[θ|x]=01/2θ×θexp{log(x)θ}dθ/01/2θexp{log(x)θ}dθ=01/2θ2exp{log(x)θ}dθ/01/2θexp{log(x)θ}dθ
01/2θkexp{αθ}dθ=1α[θkexp{αθ}]01/2+kα01/2θk1exp{αθ}dθ
01/2exp{αθ}dθ=1exp{α/2}α

Wie in meinem Buch angegeben , entspricht das Minimieren in dem Minimieren in was selbst einer Minimierung in was bedeutet, den ursprünglichen Prior durch einen neuen Prior zu ersetzen , das in eine Dichte renormiert werden muss, δ

w(θ)(θδ)2π(θ|x)dθ
δ
w(θ)(θδ)2π(θ)f(x|θ)dθ
δ
(θδ)2w(θ)π(θ)f(x|θ)dθ
πw(θ)π(θ)
π1(θ)=w(θ)π(θ)/w(θ)π(θ)dθ
Xi'an
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6

Ihre Antwort für den quadratischen Fehlerverlustteil ist falsch.

π(θ|x)f(x|θ)π(θ)=2θxθ1I(0,1/2)(θ).

Dies ist eine -Verteilung in , nicht in , und die Zufallsvariable im posterioren Bereich ist . Ihre Antwort ist also falsch, und die richtige Antwort wäre das hintere Mittel dieser Verteilung.Beta(θ,1)xθθ

Für den zweiten Teil

(Der Prior für die gewichtete Verlustfunktion ist aber Sie bezeichnen ihn als . Ich schalte die Notation zurück auf .)π1ππ1

Sei , wobei eine Normalisierungskonstante ist. Sie müssen berechnenπ(θ)=cw(θ)π1(θ)c

δπ1(x)=Eπ1[w(θ)θ|x]Eπ1[w(θ|x)]=w(θ)θf(x|θ)π1(θ)dθw(θ)f(x|θ)π1(θ)dθ=θf(x|θ)π(θ)dθf(x|θ)π(θ)dθ=Eπ[θ|x]

Für die gewichtete Verlustfunktion der kleinsten Quadrate besagt der Satz, dass die Bayes-Schätzung das hintere Mittel in Bezug auf einen anderen Prior ist. Der Prior ist

π(θ)w(θ)π1(θ).

Die Normalisierungskonstante ist .θw(θ)π(θ)dθ=Eπ1[w(θ)]

Eπ1[w(θ)]=01/2I0,1(θ)d(θ)=12.

Der Prior ist also . Dies ist derselbe Stand, den Sie in der ersten Frage hatten.π(θ)=2I(0,1/2)(θ)

Somit ist die Antwort für die Szenarien (was auch immer es ist) dieselbe. Das Integral finden Sie hier . Es kann jedoch ausreichend sein, die Form der Antwort zu korrigieren und das Integral nicht zu vervollständigen.

Greenparker
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