Normalverteilung über einen begrenzten Bereich

Gibt es eine Verteilung, die der Gaußschen (Normal-) Verteilung ähnelt, deren Wahrscheinlichkeitsdichte jedoch nur über ein definiertes Segment ungleich Null ist?

Die Frage stellte sich, als ich versuchte, die "Kugelausbreitung" innerhalb eines Kreises zu modellieren. Die Gaußsche Verteilung funktioniert gut, aber es besteht immer die Möglichkeit, dass die Kugel außerhalb des Kreises trifft. Ich würde also gerne eine Verteilung finden, die Gauß sehr ähnlich ist, aber mit der Eigenschaft, dass die Wahrscheinlichkeit außerhalb des definierten Segments (oder Kreises) Null ist.

EDIT: Ja, eigentlich meine ich eine Scheibe, keinen Kreis. EDIT: Und ja, ich brauche nur eine eindimensionale Verteilung (entlang des Radius einer Scheibe), die kreisförmig symmetrisch ist (nicht winkelabhängig).

Sie können eine abgeschnittene Normalverteilung verwenden. Es ist nur eine Normalverteilung, für die Sie nur ein Intervall berücksichtigen. Sie müssen es neu skalieren, um sicherzustellen, dass das PDF auf 1 integriert ist. Aber das scheint mir genau das zu sein, wonach Sie suchen.

Die VonMises-Verteilung ähnelt der Normalverteilung, wird jedoch mit kreisförmigen Daten verwendet und nur im Intervall eines Kreises (0-360 Grad oder 0-2pi Bogenmaß) definiert.

Die Beta-Verteilung ist von 0 bis 1 definiert (kann aber auf andere Intervalle skaliert werden), bei gleichen Parametern ist sie symmetrisch und für viele Werte glockenförmig.

Dies ist eine alte Frage, aber für neue Leser immer noch relevant. Ich bin überrascht, dass niemand die Verteilung von Raised Cosine erwähnt hat .

Mit den mittleren und Spread-Parametern es perfekt in und seine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) hat ebenfalls eine glockenförmige Kurve.$\mu$$s$$[\mu - s, \mu + s]$

+1 für die Antwort auf die Ablehnungsstichprobe.

Könnten Sie auch ein Beispiel aus der Beta-Distribution nehmen, in der (aka ) 1 und (aka ) ist? Dies ist in [0,1] definiert. Multiplizieren Sie also mit dem Radius der Disc, und Sie haben keine Wahrscheinlichkeit, Punkte mit dem Radius oder größer auszuwählen.$\alpha$shape1$\beta \gt 1$shape2

Zu den Vorteilen gehören: a) Es besteht eine Wahrscheinlichkeit von Null, dass ein Abstand größer oder gleich dem Radius ausgewählt wird, und b) Sie können eine einfache Abtastung durchführen, anstatt beispielsweise eine Ablehnungsabtastung.

Die Nachteile sind: a) es ist zappelig nahe 0 und b) die Verteilung ist dem Gaußschen nicht "sehr ähnlich". (Es ist viel höher in der Nähe von 0 - dh in der Mitte - als das Gaußsche, obwohl das tatsächlich das sein könnte, was das OP will.)

Es scheint, dass nach einer gleichmäßigen Verteilung auf einer Scheibe gesucht wird, die ich als (das Innere) des Einheitskreises betrachten werde. Wir können durch parametrisieren so dass wir und . Wir können eine gleichmäßige Verteilung haben lassen, unabhängig von , und müssen die Verteilung von , die eine gleichmäßige Verteilung auf dem Kreis ergibt. Da Wahrscheinlichkeit Fläche proportional sein muss, haben wir für , dass und , ergibt$(r,\theta)$$0 \le r \le 1$$0 \le \theta \le 2\pi$$\theta$$R$$R$$0 \le a \le b \le 1$

$$\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \P(a\le R \le b) \propto \pi b^2 - \pi a^2$$ $a=0$$b=1$$F_R(r)= r^2$. Dann ist die Dichte die Ableitung . Die Gelenkdichte von und dann zu Dies ist leicht zu simulieren, die Summe zweier unabhängiger Uniformen haben eine dreieckige (und symmetrische) Verteilung, die manchmal als "Zelt" -Verteilung bezeichnet wird. Wir wollen nur den linken Teil des Zeltes, den wir erhalten können, indem wir die Verteilung in einer vertikalen Linie oben (Modus) des Zeltes spiegeln. Die Simulation in R ergibt:R & thgr ; f ( r , & thgr ; ) = $f_R(r)=2r$$R$$\theta$ $$f(r,\theta)=\frac1{2\pi}\cdot 2r = \frac{r}{\pi}$$

Der R-Code für die Simulation lautet:

set.seed(7*11*13)
rleft_tri  <-  function(n) {
    T  <-  runif(n)+runif(n)
    val  <-  ifelse(T <= 1,T, 2-T)
    val
}

rdisk  <-  function(n)  {
    val  <-  cbind(  rleft_tri(n),  2*pi*runif(n) )
    colnames(val)  <-  c("R","Theta")
    val
    }

#

library(plotrix)
par(bg="antiquewhite")
points  <- rdisk(10000)         plot(c(-1,1),c(-1,1),type="n",axes=FALSE,xlab="",ylab="",xlim=c(-1.1,1.1),ylim=c(-1.1,1.1))
    draw.circle(x=c(0,0),y=c(0,0),radius=1,col="aquamarine")
    points(with(as.data.frame(points),cbind(R*cos(Theta), R*sin(Theta))),pch=".",col="red",cex=2)

Beachten Sie, dass dies ein Sonderfall der alten Antwort von @Greg Snow ist, da die Verteilung "linkes Zelt" eine Beta-Verteilung mit den Parametern . Aber der obige Code zum Simulieren ist wahrscheinlich schneller als der allgemeine Code zum Simulieren aus einer Beta (oder wäre es, wenn er in C programmiert wäre).$a=2, b=1$