Schätzung des Mittelwerts und des st dev einer abgeschnittenen Gaußschen Kurve ohne Spitze

Angenommen, ich habe eine Blackbox, die Daten nach einer Normalverteilung mit dem Mittelwert m und der Standardabweichung s generiert. Nehmen wir jedoch an, dass bei jeder Ausgabe eines Werts <0 nichts aufgezeichnet wird (ich kann nicht einmal sagen, dass ein solcher Wert ausgegeben wurde). Wir haben eine abgeschnittene Gaußsche Verteilung ohne Spitze.

Wie kann ich diese Parameter schätzen?

Das Modell für Ihre Daten wäre:

$y_i \sim N(\mu,\sigma^2) I(y_i > 0)$

Somit ist die Dichtefunktion:

wo,

Ist das normale Standard-PDF.$\phi(.)$

Sie können dann die Parameter und σ entweder mit maximaler Wahrscheinlichkeit oder mit Bayes'schen Methoden schätzen .$\mu$$\sigma$

Wie Srikant Vadali vorgeschlagen hat, haben Cohen und Hald dieses Problem um 1950 mit ML (mit einem Newton-Raphson-Wurzelfinder) gelöst. Ein weiteres Papier ist Max Halperins "Schätzung in der abgeschnittenen Normalverteilung", das auf JSTOR verfügbar ist (für diejenigen mit Zugriff). Das Googeln der "abgeschnittenen Gaußschen Schätzung" führt zu vielen nützlich aussehenden Treffern.

Details werden in einem Thread bereitgestellt, der diese Frage verallgemeinert (allgemein auf abgeschnittene Verteilungen). Siehe Maximum Likelihood Estimators für eine abgeschnittene Verteilung . Es könnte auch von Interesse sein, die Maximum-Likelihood-Schätzer mit der Maximum-Entropy-Lösung zu vergleichen, die (mit Code) bei Max Entropy Solver in R angegeben wurde .

$a=0$$\mu_t$$\sigma_t$

1. $\mu$$\sigma$

   $\mu = \bar{x}= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i$

   $\sigma = s = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}$

2. $TB=a=0$$\bar{x}$

   $TB = a$$\bar{x} \le 3s$

3. $\omega, P_3(\omega), P_4(\omega)$$Q(\omega)$

   $\omega = \frac{s^2}{(a-\bar{x})^2}$

   $P_3(\omega) = 1+5,74050101\omega - 13,53427037\omega^2 + 6,88665552\omega^3$

   $P_4(\omega) = -0,00374615 + 0,17462558\omega - 2,87168509\omega^2 + 17,48932655\omega^3 - 11,91716546\omega^4$

   $Q(\omega) = \frac{P_4(\omega)}{P_3(\omega)}$

4. $\omega \le 0,57081$$\mu_t$$<0$

5. $\mu_t$$\sigma_t$

   $\mu_t = \bar{x} + Q(\omega) \cdot (a-\bar{x})$

   $\sigma_{t}^{2} = s^2 + Q(\omega) \cdot (a-\bar{x})^2$

Das ist alles...