Gibt es eine andere Interpretation für eine Gamma-Verteilung mit einem nicht ganzzahligen Formparameter?

Es ist bekannt, dass eine Zufallsvariable, die mit dem ganzzahligen Formparameter Gamma-verteilt ist, der Summe der Quadrate von normalverteilten Zufallsvariablen entspricht.$k$$k$

Aber was kann ich über eine gammaverteilte Zufallsvariable mit nicht ganzzahligem sagen ? Gibt es überhaupt eine andere Interpretation als die Gamma-Verteilung?$k$

Wenn und Y ≤ G ( β , 1 ) unabhängig sind, dann ist X + Y ≤ G ( α + β , 1 ). Insbesondere wenn X ≤ G ( α , 1 ) ist , wird es mit verteilt die gleiche Verteilung wie X 1 + ⋯ + X n ∼ G ( α , $X\sim{\cal G}(\alpha,1)$$Y\sim{\cal G}(\beta,1)$

$$X+Y\sim{\cal G}(\alpha+\beta,1)$$ $X\sim{\cal G}(\alpha,1)$ für alle n ∈ N . (Diese Eigenschaft wird alsunendliche Teilbarkeit bezeichnet.) Dies bedeutet, dass, wenn X ∼ G ( α , 1 ) ist, wenn α keine ganze Zahl ist, X die gleiche Verteilung wie Y + Z hat, wobei Z unabhängig von Y und Y ∼ G ( ⌊ α) ist ⌋ , 1 $$X_1+\cdots+X_n\sim{\cal G}(\alpha,1)\qquad X_i\stackrel{\text{iid}}{\sim}{\cal G}(\alpha/n,1)$$ $n\in\mathbb N$$X\sim{\cal G}(\alpha,1)$$\alpha$$X$$Y+Z$$Z$$Y$Dies impliziert auch, dass ganzzahlige Formen α für Gammas keine besondere Bedeutung haben. $$Y\sim{\cal G}(\lfloor\alpha\rfloor,1)\qquad Z\sim{\cal G}(\alpha-\lfloor\alpha\rfloor,1)$$ $\alpha$

Wenn umgekehrt mit α < 1 ist , hat es die gleiche Verteilung wie Y U 1 / α, wenn Y unabhängig von U ∼ U ( 0 , 1 ) und Y ∼ G ( α + 1 , 1) ist ) Und daher ist die Verteilung G ( α , 1 ) in X ∼ ( $X\sim{\cal G}(\alpha,1)$$\alpha<1$$YU^{1/\alpha}$$Y$$U\sim{\cal U}(0,1)$

$$Y\sim{\cal G}(\alpha+1,1)$$ ${\cal G}(\alpha,1)$ $$X \sim (X'+\xi)U^{1/\alpha}\qquad X,X'\sim{\cal G}(\alpha,1)\quad U\sim{\cal U}(0,1)\quad \xi\sim{\cal E}(1)$$