intuitiver Unterschied zwischen Gelenkwahrscheinlichkeit und bedingter Wahrscheinlichkeit in diesem Beispiel

Ich habe ein Tutorial über Randdichten gelesen, als ich auf dieses Beispiel stieß (umformuliert).

Eine Person überquert die Straße und wir möchten die Wahrscheinlichkeit berechnen, wenn sie von einem vorbeifahrenden Auto angefahren wird, abhängig von der Farbe der Ampel.

Sei H, ob die Person getroffen wird oder nicht, und L sei die Farbe der Ampel.

Also und L = \ {\ text {rot, gelb, grün} \} .$H = \{\text{hit, not hit} \}$$L = \{\text{red, yellow, green} \}$

Die Wahrscheinlichkeit, getroffen zu werden, wenn das Licht rot ist, kann wie folgt geschrieben werden: $P(H = \text{hit}| L = \text{red})$ . Dies ist eindeutig eine bedingte Wahrscheinlichkeit.

Die Wahrscheinlichkeit, getroffen zu werden, unabhängig davon, um welches Licht es sich handelt, kann wie folgt geschrieben werden: $P(H = \text{hit})$ . Dies ist marginal, wie ich kürzlich verstanden habe.

Wie können Sie sagen: $P(H,L)$ . Dies ist eine gemeinsame Wahrscheinlichkeit. Wie übersetzt man es in einen Laiensatz? Wie unterscheidet es sich von "Die Wahrscheinlichkeit, getroffen zu werden UND das Licht ist rot"?

Vielen Dank für Ihre Erkenntnisse.

Sie hatten tatsächlich genau dort Ihre Antwort.

$P(H=hit)$ ist die Grenzwahrscheinlichkeit. Es liest "die Wahrscheinlichkeit, getroffen zu werden.". Es ist der Anteil der Menschen, die unabhängig von der Ampel beim Überqueren der Straße getroffen wurden.

$P(H=hit|L=red)$ ist die bedingte Wahrscheinlichkeit. Es lautet "Die Wahrscheinlichkeit, dass Sie getroffen werden, vorausgesetzt , das Licht ist rot". Es ist der Anteil der Treffer unter den Menschen, die die Straße in rotem Licht überqueren.

Schließlich ist die gemeinsame Wahrscheinlichkeit. Es liest "die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person von einem Auto angefahren wird und dass das Licht rot ist". Es ist der Anteil der Treffer in rotem Licht unter allen Menschen.$P(H=hit, L=red)$

Sie kennen sicherlich die Beziehung

$P(H=hit, L=red) = P(H=hit | L=red) * P(L=red)$

In "Laiensprache" können wir es wie folgt betrachten. Angenommen, die Wahrscheinlichkeit, ein rotes Licht zu haben, ist extrem gering, aber Menschen werden immer getroffen, wenn sie rotes Licht überqueren. Nehmen wir an, Sie sind ein Beobachter am Straßenrand. Sie werden sehen, wie Menschen getroffen werden, und selten werden Sie sehen, wie das Licht rot wird. Von allen Menschen, die die Straße überqueren, ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie in rotes Licht getroffen werden, sehr gering, da sie diese Gelegenheit fast nie haben ( ist klein, weil ein rotes Licht selten ist). Wenn Sie jedoch lange genug beobachten, werden Sie schließlich sehen, dass Personen in rotes Licht getroffen werden, und Sie werden feststellen, dass Personen, die die Straße überqueren, mit Sicherheit getroffen werden, wenn das Licht rot ist ( ).$P(H=hit,L=red)$$P(H=hit|L=red)=1$

$H$ und sind Zufallsvariablen. nimmt einen Wert in und nimmt einen Wert in . In diesem Beispiel gibt die gemeinsame Verteilung die Wahrscheinlichkeit an, dass zwei Dinge passieren: dass einen bestimmten Wert annimmt und einen bestimmten Wert annimmt . Sie können dies auch als schreiben . Um die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Kombination zu ermitteln, geben Sie Werte für und . Zum Beispiel$L$$H$$\{ \text{hit, not hit} \}$$L$$\{ \text{red, yellow, green} \}$$P(H, L)$$H$$h$$L$$l$$P(H=h \text{ and } L=l)$$h$$l$$P(H=\text{hit}, L=\text{red})$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Person getroffen wird und das Licht rot ist.

Sie können sich vorstellen, dass es eine Gesamtwahrscheinlichkeit gibt (die sich zu 1 summiert), die einer festen Menge an „Zeug“ (z. B. einer Flüssigkeit) entspricht. Die gemeinsame Verteilung nimmt es diese und Aufstriche in unterschiedlichen Mengen über alle möglichen Kombinationen von Werten für aus und .$H$$L$

Ich habe versucht, dieses Beispiel mit angenommenen Werten der gemeinsamen Wahrscheinlichkeit zu erklären:

Hier dreht sich alles um Perspektive. Stellen Sie sich einen viel einfacheren Kontext vor. Angenommen, es gibt zwei verschiedene Ereignisse A und B in einem rechteckigen Ereignisraum. Wir können die Veranstaltungsräume in grünen und blauen Kreisen und den überlappenden Bereich in Rot färben. Wenn wir nun P (A, B) oder P (A | B) sagen, zeigen beide die Ereignisse innerhalb des roten Bereichs an. Aber die Perspektive ist anders.

Im Fall von P (A, B) ist die Wahrscheinlichkeit (die Fläche des roten Raums) / (die Fläche des gesamten Rechtecks)

Im Fall von P (A | B) ist die Wahrscheinlichkeit (die Fläche des roten Raums) / (die Fläche des blauen Kreises B)

Stellen Sie sich nun das Verkehrsszenario vor. Angenommen, Sie zählen, wie viele Fußgänger die Straße überqueren und wie viele Fußgänger getroffen werden. Ihre Zählungen folgen,

Anzahl der Fußgänger, die die Straße in grünen, gelben und roten Signalen überqueren = X, Y, Z.

Anzahl der Fußgänger, die beim Überqueren der Straße in grünen, gelben und roten Signalen getroffen werden = A, B, C.

Jetzt ist P (Treffer, Rot) = C / (X + Y + Z)

P (Treffer | Rot) = (C / (X + Y + Z)) / (Z / (X + Y + Z)) = C / Z.

In jedem Fall müssen Sie natürlich nur die Fußgänger zählen, die in roten Signalen getroffen werden, um C zu berechnen. Wenn Sie die Wahrscheinlichkeit P (Treffer, Rot) zählen, müssen Sie alle sich kreuzenden Fußgänger zählen. Wenn Sie jedoch die Wahrscheinlichkeit P (Treffer | Rot) zählen, müssen Sie nur den Fußgängerüberweg zählen, wenn das rote Licht leuchtet .

Vielleicht gibt es eine einfachere Erklärung, ohne dass Gleichungen erforderlich sind.

Ein Bruchteil der Menschen wird unabhängig von der hellen Farbe getroffen (Randwahrscheinlichkeit). Von diesen getroffenen Personen wird ein Bruchteil auf Rot getroffen (abhängig von Rot Prob). Um also einen tatsächlichen Anteil der Gesamtbevölkerung zu erhalten, multiplizieren Sie die beiden (gemeinsame Wahrscheinlichkeit).

Der intuitive Unterschied zwischen den beiden ist:

1) Bedingte Wahrscheinlichkeit P (H = Treffer | L = Rot) - Wahrscheinlichkeit, wenn das Licht rot war und Personen getroffen wurden. Es werden nicht alle Personen berücksichtigt, die den Verkehr überqueren.

2) Gemeinsame Wahrscheinlichkeit P (H = Treffer, L = Rot) - Wahrscheinlichkeit, dass Personen getroffen werden und das Licht rot ist.

Hauptunterschied - in 1) sind der Probenraum nicht alle Personen, es sind nur die Personen, die rotes Licht überqueren, in 2) der Probenraum sind alle und der Schnittpunkt von Personen, die rotes Licht überqueren und getroffen werden, ist die gemeinsame Wahrscheinlichkeit.