Unvoreingenommener Schätzer des Poisson-Parameters

Die Anzahl der Unfälle pro Tag ist eine Poisson-Zufallsvariable mit dem Parameter . An 10 zufällig ausgewählten Tagen wurde die Anzahl der Unfälle mit 1,0,1,1,2,0,2,0,0,1 beobachtet ein unvoreingenommener Schätzer von ?$\lambda$$e^{\lambda}$

Ich habe versucht, dies auf folgende Weise zu versuchen: Wir wissen, dass , aber . Was wird dann der erforderliche unvoreingenommene Schätzer sein?E ( e ˉ x ) ≠ e $E(\bar{x})=\lambda=0.8$$E(e^{\bar{x}})\neq\ e^{\lambda}$

Wenn , dann istfür . Es ist schwer zu berechnenP ( X = k ) = λ k e - λ / k $X\sim \text{Pois}(\lambda)$$P(X = k) = \lambda^ke^{-\lambda}/k!$$k\geq 0$

E [ X n _ ] X n _ = X ( X - 1 ) ⋯ ( X - n + 1 ) E [ X n _ i X. i ∼ Pois ( N λ ) E [

$$E[X^n] = \sum_{k\geq 0} k^n P(X = k)\text{,}$$ aber es ist viel einfacher, zu berechnen , wobei : Sie können dies beweisen alleine - es ist eine einfache Übung. Außerdem werde ich Sie Folgendes selbst beweisen lassen: Wenn als sind , dann ist daher ist Sei . Es folgt dem$E[X^{\underline{n}}]$$X^{\underline{n}} = X(X - 1)\cdots (X - n + 1)$X 1 , ⋯ , X N $$E[X^\underline{n}]=\lambda^n\text{.}$$ $X_1,\cdots, X_N$= $\text{Pois}(\lambda)$$U = \sum_i X_i\sim \text{Pois}(N\lambda)$Z n = U n _ / N $$E[U^{\underline{n}}] = (N\lambda)^n = N^n \lambda^n\quad\text{and}\quad E[U^\underline{n}/N^n] = \lambda^n\text{.}$$ $Z_n = U^{\underline{n}}/N^n$

• X 1 … X $Z_n$ sind Funktionen Ihrer Messungen , ,$X_1$$\dots$$X_N$
• $E[Z_n] = \lambda^n$ ,

Da Daraus können wir schließen$e^\lambda = \sum_{n\geq 0}\lambda^n /n!$

daher ist Ihr unverzerrter SchätzerW=∑n≥0Zn/n! dhE[W]=eλ. Allerdings berechnenW, muss man eine Summebewertendie unendlich zu sein scheint, aber beachtendassU∈N0, alsoUn_=0fürn>U. Daraus folgt, dassZn=0für

$$E\left[\sum_{n\geq 0}\frac{Z_n}{n!}\right] =\sum_{n\geq 0} \frac{\lambda^n}{n!} = e^\lambda\text{,}$$ $W = \sum_{n\geq 0} Z_n/n!$$E[W] = e^\lambda$$W$$U\in \mathbb{N}_0$$U^\underline{n} = 0$$n>U$$Z_n = 0$ , daher ist die Summe endlich.$n>U$

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Wir können sehen, dass Sie mit dieser Methode den unverzerrten Schätzer für jede Funktion von können, die ausgedrückt werden kann als f ( λ ) = ∑ n ≥ 0 a n λ n .$\lambda$$f(\lambda) = \sum_{n\geq 0}a_n\lambda^n$

Daraus folgt, dass $Y=\sum_{i=1}^{10} X_i \sim \text{Pois}(10\lambda)$ . Wir wollen $\theta=e^\lambda$ schätzen . Wie Sie sagen, wäre ein möglicher Schätzer sein θ = e ˉ X = e Y / 10 . Unter Verwendung der Momenterzeugungsfunktion von Y ist M Y ( t ) = e 10 λ ( e t - 1 )

$$\begin{equation} \hat\theta = e^{\bar X} = e^{Y/10}. \end{equation}$$ $Y$ $$\begin{equation} M_Y(t)=e^{10\lambda(e^t - 1)}, \end{equation}$$ Finden wirdass $$\begin{equation} E(\hat\theta) = E(e^{\frac1{10}Y}) = M_Y(\frac1{10}) = e^{10\lambda(e^{1/10} - 1)} = \theta^{10(e^{1/10}-1)}, \end{equation}$$ so θ vorgespannt ist. Einige Vermutungen legen nahedass θ*=eeinY, kann fürgeeignete Wahl des Korrekturfaktors unvoreingenommenein. Wiederumfinden wir unterVerwendung des mgf vonY, dass E(θ∗)=e10 ist$\hat\theta$ $$\begin{equation} \theta^* = e^{aY}, \end{equation}$$ $a$$Y$ $$\begin{equation} E(\theta^*) = e^{10\lambda(e^a - 1)} = \theta^{10(e^a-1)}, \end{equation}$$ dies ist also unverzerrt, wenn$10(e^a - 1) = 1$was zu$a=\ln\frac{11}{10}$ und$\theta^* = (\frac{11}{10})^Y$als unverzerrter Schätzer von$\theta=e^\lambda$.

$Y$$\lambda$$\theta^*$$Y$$e^\lambda$