Ist die Summe einer diskreten und einer stetigen Zufallsvariablen stetig oder gemischt?

Wenn $X$ eine diskrete und $Y$ eine kontinuierliche Zufallsvariable ist, was können wir dann über die Verteilung von sagen $X+Y$ ? Ist es kontinuierlich oder ist es gemischt?

Was ist mit dem Produkt $XY$ ?

self-study distributions random-variable user666
quelle

Antworten:

Angenommen nimmt Werte mit diskreter Verteilung , wobei eine zählbare Menge ist, und nimmt Werte in mit der Dichte und CDF . $X$ $k \in K$ $(p_k)_{k \in K}$ $K$ $Y$ $\mathbb R$ $f_Y$ $F_Y$

Let . Wir haben $Z = X + Y$

P (Z \leq z) = P (X + Y \leq z) = \sum_{k \in K} P (Y \leq z - X ∣ X = k) P (X = k) = \sum_{k \in K} F_{Y} (z - k) p_{k},

$\mathbb P( Z \leq z) = \mathbb P(X + Y \leq z) = \sum_{k \in K} \mathbb P(Y \leq z - X \mid X = k) \mathbb P(X = k) = \sum_{k \in K} F_Y(z-k) p_k,$ das differenziert werden kann , um eine Dichtefunktion für erhalten

gegeben durch

Z

$Z$

f_{Z} (z) = \sum_{k \in K} f_{Y} (z - k) p_{k} .

$f_Z(z) = \sum_{k \in K} f_Y(z-k) p_k.$

Nun sei und nehme . Dann $R = X Y$ $p_0 = 0$

P (R \leq r) = P (X Y \leq r) = \sum_{k \in K} P (Y \leq r / X) P (X = k) = \sum_{k \in K} F_{Y} (r / k) p_{k},

$\mathbb P(R \leq r) = \mathbb P(X Y \leq r) = \sum_{k \in K} \mathbb P(Y \leq r/X) \mathbb P(X= k) = \sum_{k \in K} F_Y(r/k) p_k,$ was wiederum differenziert werden kann, um eine Dichtefunktion zu erhalten.

Wenn jedoch , dann ist , was zeigt, dass in diesem Fall ein Atom bei 0 hat. $p_0 > 0$ $\mathbb P(X Y = 0) \geq \mathbb P(X = 0) = p_0 > 0$ $XY$

Joris Bierkens
quelle

$X$ $p_X : \mathcal{X} \to [0,1]$ $\mathcal{X}$ $X$

f_{X} (x) = \sum_{x_{k} \in X} p_{X} (x_{k}) δ (x - x_{k})

$f_X (x) = \sum_{x_k \in \mathcal{X}} p_X (x_k) \, \delta (x - x_k)$

$\delta$

$Y$ $Z := X+Y$ $X$ $Y$ $Z$ $X$ $Y$ $Z$ $f_X$ $f_Y$

f_{Z} (z) = \sum_{x_{k} \in X} p_{X} (x_{k}) f_{Y.} (z - x_{k})

$f_Z (z) = \sum_{x_k \in \mathcal{X}} p_X (x_k) \, f_Y (z - x_k)$

Rodrigo de Azevedo
quelle

Warum die Gegenstimme?

Rodrigo de Azevedo

Ja, ich bin auch neugierig auf die Ablehnung

Yair Daon

X

$X$

Y

$Y$

@whuber Ich stimme zu (b). Es wird jedoch gesagt, dass ein diskretes Wohnmobil "als ... gedacht werden kann", also denke ich, dass es eine interessante Ansicht hinzufügt.

Yair Daon

Deshalb habe ich geschrieben, dass Ihre Antwort irreführend ist. Da es um die Unterscheidung zwischen diskreten und kontinuierlichen Verteilungen geht - und diese Unterscheidung eine Frage der mathematischen Definition und nicht des "Geschmacks" ist - sind Ihre Bemühungen, die beiden zu verwechseln, wahrscheinlich weniger hilfreich.

Whuber

$X$ $Y$

Bearbeiten: Ich gehe davon aus, dass "kontinuierlich" bedeutet "mit einem PDF." Wenn kontinuierlich stattdessen atomlos bedeuten soll, ist der Beweis ähnlich; Ersetzen Sie im Folgenden einfach "Lebesgue null set" durch "singleton set".

$X$ $\{x_1,x_2,x_3\dots\}$

$Z$ $P(Z\in E)=0$ $E$

$\square$

$X+Y$ $E$

P (X + Y. \in E) = \sum_{k} P ({Y. + x_{k} \in E} \cap {X = x_{k}}) \leq \sum_{k} P (Y. + x_{k} \in E)

$P(X+Y\in E)=\sum_k P(\{Y+x_k\in E\}\cap \{X=x_k\})\le \sum_k P(Y+x_k\in E)$

Y + x_{k} \in E

$Y+x_k\in E$

Y \in E - x_{k}

$Y\in E-x_k$

E - x_{k}

$E-x_k$

Y

$Y$

P (Y + x_{k} \in E) = 0

$P(Y+x_k\in E)=0$

X + Y

$X+Y$

$P(X=0)=0$ $P(X=0)=1$ $XY$ $P(XY=0)=1$ $XY$

Mike Earnest
quelle